Доказательство. Выберем некоторый базис e1, e2, , ek в подпространстве L1 и некоторый базис g1, g2, , gl в подпространстве L2

Выберем некоторый базис e₁, e₂,…, e_k в подпространстве L₁ и некоторый базис g₁, g₂,…, g_l в подпространстве L₂. Докажем, что объединение этих базисов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l представляет собой базис всего пространства L. Так как по условию теоремы размерность n всего пространства L равна сумме (k+l) размерностей L₁ и L₂, то достаточно доказать линейную независимость элементов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l.

Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l представляет собой нулевой элемент, то есть справедливо равенство α₁e₁+…+α_ke_k+β₁g₁+…+β_lg_l=0 или α₁e₁+…+α_ke_k=-β₁g₁-…-β_lg_l. Так как левая часть является элементом L₁, а правая – элементом L₂, а пересечение L₁ и L₂ содержит лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть представляет собой нулевой элемент, а это(на основании линейной независимости элементов каждого из базисов e₁,…, e_k и g₁,…, g_l) возможно лишь при условии α₁=…=α_k=0, β₁=…=β_l=0. Тем самым мы установили, что равенство α₁e₁+…+α_ke_k+β₁g₁+…+β_lg_l=0 возможно лишь при условии α₁=…=α_k=0, β₁=…=β_l=0, а это и доказывает линейную независимость элементов e₁,…, e_k, g₁,…, g_l и тот факт, что элементы e₁,…, e_k, g₁,…, g_l образуют базис всего пространства L.

Пусть теперь x – любой элемент L. Разложив его по базису e₁,…, e_k, g₁,…, g_l, будем иметь x=λ₁e₁+…+λ_ke_k+μ₁g₁+…+μ_lg_l или x=x₁+x₂, где x₁= λ₁e₁+…+λ_ke_k – элемент L₁, а x₂= μ₁g₁+…+μ_lg_l – элемент L₂. Остается доказать, что представление x=x₁+x₂ является единственным. Предположим, что, кроме x=x₁+x₂, справедливо и еще одно представление x=x^’₁+x^’₂, где x^’₁ – элемент L₁, а x^’₂ – элемент L₂. Вычитая x=x^’₁+x^’₂ из x=x₁+x₂, получим, что 0=x₁-x^’₁+x₂-x^’₂ или x₁-x^’₁=x₂-x^’₂. Так как в левой части последнего равенства стоит элемент L₁, а в правой – элемент L₂, и поскольку пересечение L₁ и L₂ содержит лишь нулевой элемент, то из этого равенства следует, что x₁-x^’₁=0, x₂-x^’₂=0, то есть x₁=x^’₁, x₂=x^’₂. Теорема доказана.

1. Прямое и обратное преобразование базисов. Доказательство непрерывности матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат при преобразовании базиса.

Пусть e₁, e₂,…, e_n и e^’₁, e^’₂,…, e^’_n – два произвольных базиса n-мерного линейного пространства L. Как всякий элемент пространства L, каждый элемент e^’₁, e^’₂,…, e^’_n может быть разложен по базису e₁, e₂,…, e_n. Предположим, что элементы e^’₁, e^’₂,…, e^’_n выражаются через e₁, e₂,…, e_n с помощью формул

e^’₁=α₁₁e₁+α₁₂e₂+…+α_1ne_n,

e^’₂= α₂₁e₁+α₂₂e₂+…+α_2ne_n,

e^’_n= α_n1e₁+α_n2e₂+…+α_nne_n.