Доказательство. Выберем в L какой-нибудь базис e1, e2, , en, а в L’ – какой-либо базис e’1, e’2, , e’n

Выберем в L какой-нибудь базис e₁, e₂,…, e_n, а в L^’ – какой-либо базис e^’₁, e^’₂,…, e^’_n. Поставим в соответствие каждому элементу x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n пространства L элемент x^’=x₁e^’₁+x₂e^’₂+…+x_ne^’_n пространства L^’ (то есть мы берем в качестве x^’ тот элемент пространства L^’, который относительно базиса e^’₁, e^’₂,…, e^’_n те же самые координаты, что и элемент x относительно базиса e₁, e₂,…, e_n).

Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу x пространства L однозначно соответствуют координаты x₁, x₂,…, x_n, которые в свою очередь определяют единственный элемент x^’ пространства L^’. В силу равноправности пространств L и L^’ каждому элементу x^’ пространства L^’ в свою очередь соответствует единственный элемент x пространства L (Соответствие между элементами двух множеств L и L^’ называется взаимно однозначным, если при этом соответствии каждому элементу L отвечает один и только один элемент L^’, причем каждый элемент L^’ отвечает одному и только одному элементу L). Остается заметить, что элементам x и y пространства L отвечают соответственно элементы x^’ и y^’ пространства L^’, то в силу теоремы об операциях над элементами двух линейных пространств, выраженных в координатах, элементу x+y отвечает элемент x^’+y^’, а элементу λx отвечает элемент λx^’. Теорема доказана.

(Единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность)

1. Подпространство линейного пространства. Примеры. Линейная оболочка. Примеры. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки.

Предположим, что некоторое подмножество K линейного пространства L удовлетворяет следующим двум требованиям:

1) Если элементы x и y принадлежат подмножеству K, то и сумма x+y принадлежит этому подмножеству.

2) Если элемент x принадлежит подмножеству K, а λ – любое вещественное число, то и элемент λx принадлежит подмножеству K.

Определение. Подмножество K линейного пространства L, удовлетворяющее двум требованиям, называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства L.