Студопедия — Доказательство.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство.






Пусть e1, e2,…, en – любая система n линейно независимых элементов пространства L (существование хотя бы одной такой системы вытекает из определения). Если x – любой элемент пространства L, то, согласно определению система (n+1) элементов x, e1, e2,…, en линейно зависима, то есть найдутся не все равные нулю числа α0, α1,…, αn такие, что справедливо равенство α0x+α1e1+…+αnen=0. Заметим, что число α0 заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства вытекала бы линейная зависимость элементов e1, e2,…, en). Но тогда поделив равенство на α0 и положив x1=-α10, x2=-α20,…, xn=-αn0, мы получим x=x1e1+x2e2+…+xnen. Так как элемент x произвольный элемент L, то это равенство доказывает, что система элементов e1, e2,…, en является базисом пространства L. Теорема доказана.

Теорема. Если линейное пространство L имеет базис, состоящий из n элементов, то размерность L равна n.

Доказательство. Пусть система из n элементов e1, e2,…, en является базисом пространства L. Достаточно доказать, что любые (n+1) элементов этого пространства x1, x2,…, xn+1 линейно зависимы. разложив каждый элемент по базису, будем иметь

x111e112e2+…+α1nen,

x221e122e2+…+α2nen,

xn+1(n+1)1e1(n+1)2e2+…+α(n+1)nen, где α11, α12,…, α(n+1)n – некоторые вещественные числа.

Очевидно, линейная зависимость элементов x1, x2,…, xn+1 эквивалента линейной зависимости строк матрицы

α11α12…α1n

A= α21α22…α2n

α(n+1)1α(n+1)2…α(n+1)n

Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, ибо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (n+1) строк и n столбцов) не превосходит n, и хотя бы одна из (n+1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк. Теорема доказана.

(Теорема о базисном миноре – базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов))

 

  1. Изоморфизм линейного пространства. Теорема об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности.

Определение. Два произвольных вещественных линейных пространства L и L называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y пространства L отвечают соответственно элементы x и y пространства L, то элементу x+y соответствует элемент x+y, а элементу λx при любом вещественном λ отвечает элемент λx.

Заметим, что если линейное пространство L и L изоморфны, то нулевому элементу L отвечает нулевой элемент L и наоборот. Если пространства L и L изоморфны, то максимальное количество линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же. Иными словами два изоморфных пространства должны иметь одинаковую размерность. Стало быть пространства разной размерности не могут быть изоморфны.

Теорема. Любые два n-мерных вещественных линейных пространства L и L изоморфны.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 544. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Медицинская документация родильного дома Учетные формы родильного дома № 111/у Индивидуальная карта беременной и родильницы № 113/у Обменная карта родильного дома...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия