Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства

Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)^1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства. Справедливость для нормы аксиомы 1 сразу вытекает из аксиомы 4 скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2 почти непосредственно вытекает из аксиом 1 и 3 скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3, то есть неравенства ||x+y||≤||x||+||y||. Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (x,y)²≤(x,x)(y,y), которое перепишем в виде |(x,y)|≤(x,x)^1/2(y,y)^1/2. С помощью последнего неравенства, аксиом 1-4 скалярного произведения и определения нормы получим ||x+y||=(x+y,x+y)^1/2=((x,x)+2(x,y)+(y,y))^1/2≤((x,x)+(x,x)^1/2(y,y)^1/2+(y,y))^1/2=([(x,x)^1/2+(y,y)^1/2]²)^1/2=(x,x)^1/2+(y,y)^1/2=||x||+||y||. Теорема доказана.

Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением ||x||=(x,x)^1/2, для любых двух элементов x и y справедливо неравенство треугольника ||x+y||≤||x||+||y||.

В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами x и y этого пространства. Угол ϕ между элементами x и y тот (изменяющийся от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношение cosϕ=(x,y)/||x|y||=(x,y)/(x,x)^1/2(y,y)^1/2 (данное определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицу).

Определение. Два произвольных элемента x и y евклидова пространства E называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (x,y) равно нулю (в этом случае косинус угла ϕ между элементами x и y будет равен нулю).

Назовем сумму x+y двух ортогональных элементов x и y гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах x и y.

Во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поскольку x и y ортогональны и (x,y)=0, то в силу аксиом и определения нормы ||x+y||²=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)=(x,x)+(y,y)=||x||²+||y||².

Запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника для конкретных евклидовых пространств.

1) В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора a совпадает с его длиной |a|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду (a,b)²≤|a|²|b|², а неравенство треугольника – к виду |a+b|≤|a|+|b|

2) В евклидовом пространстве C[a,b] всех функций x=x(t), определенныx и непрерывных на сегменте a≤t≤b со скалярным произведением, определенным как интеграл (в пределах от a до b) от произведений функций x(t) и y(t), норма элемента x=x(t) равна (∫^b_ax²(t)dt)^1/2, а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют виду [∫^b_ax(t)y(t)dt]²≤∫^b_ax²(t)dt∫^b_ay²(t)dt, (∫^b_a[x(t)+y(t)]²)^1/2≤(∫^b_ax²(t)dt)^1/2+(∫^b_ay²(t)dt)^1/2

3) В евклидовом пространстве Eⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n) норма любого элемента x=(x₁, x₂,…, x_n) равна ||x||=(x²₁+x²₂+…+x²_n)^1/2, а неравенство Коши-Буняковского и треугольника имеют вид (x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n)≤(x²₁+x²₂+…+x²_n)(y²₁+y²₂+…+y²_n, [(x₁+y₁)²+…+(x_n+y_n)²]^1/2≤(x²₁+x²₂+…+x²_n)^1/2+(y²₁+y²₂+…+y²_n)^1/2.

1. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.

Определение. Будем говорить, что n элементов e₁, e₂,…, e_n n-мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна 1, то есть если

1, при i=k

(e_i,e_k)=

0, при i≠k

Для конкретности докажем, что такая система линейно независима. α₁e₁+…+α_ne_n=0, умножим скалярно это равенство на e_k (k от 1 до n). Мы получим α_k=0 => e₁, e₂,…, e_n линейно независимы.

Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.