Студопедия — Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства






Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства. Справедливость для нормы аксиомы 1 сразу вытекает из аксиомы 4 скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2 почти непосредственно вытекает из аксиом 1 и 3 скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3, то есть неравенства ||x+y||≤||x||+||y||. Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (x,y)2≤(x,x)(y,y), которое перепишем в виде |(x,y)|≤(x,x)1/2(y,y)1/2. С помощью последнего неравенства, аксиом 1-4 скалярного произведения и определения нормы получим ||x+y||=(x+y,x+y)1/2=((x,x)+2(x,y)+(y,y))1/2≤((x,x)+(x,x)1/2(y,y)1/2+(y,y))1/2=([(x,x)1/2+(y,y)1/2]2)1/2=(x,x)1/2+(y,y)1/2=||x||+||y||. Теорема доказана.

Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением ||x||=(x,x)1/2, для любых двух элементов x и y справедливо неравенство треугольника ||x+y||≤||x||+||y||.

В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами x и y этого пространства. Угол ϕ между элементами x и y тот (изменяющийся от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношение cosϕ=(x,y)/||x|y||=(x,y)/(x,x)1/2(y,y)1/2 (данное определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицу).

Определение. Два произвольных элемента x и y евклидова пространства E называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (x,y) равно нулю (в этом случае косинус угла ϕ между элементами x и y будет равен нулю).

Назовем сумму x+y двух ортогональных элементов x и y гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах x и y.

Во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поскольку x и y ортогональны и (x,y)=0, то в силу аксиом и определения нормы ||x+y||2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)=(x,x)+(y,y)=||x||2+||y||2.

Запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника для конкретных евклидовых пространств.

1) В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора a совпадает с его длиной |a|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду (a,b)2≤|a|2|b|2, а неравенство треугольника – к виду |a+b|≤|a|+|b|

2) В евклидовом пространстве C[a,b] всех функций x=x(t), определенныx и непрерывных на сегменте a≤t≤b со скалярным произведением, определенным как интеграл (в пределах от a до b) от произведений функций x(t) и y(t), норма элемента x=x(t) равна (∫bax2(t)dt)1/2, а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют виду [∫bax(t)y(t)dt]2≤∫bax2(t)dt∫bay2(t)dt, (∫ba[x(t)+y(t)]2)1/2≤(∫bax2(t)dt)1/2+(∫bay2(t)dt)1/2

3) В евклидовом пространстве En упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (x,y)=(x1y1+…+xnyn) норма любого элемента x=(x1, x2,…, xn) равна ||x||=(x21+x22+…+x2n)1/2, а неравенство Коши-Буняковского и треугольника имеют вид (x1y1+x2y2+…+xnyn)≤(x21+x22+…+x2n)(y21+y22+…+y2n, [(x1+y1)2+…+(xn+yn)2]1/2≤(x21+x22+…+x2n)1/2+(y21+y22+…+y2n)1/2.

 

 

  1. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.

Определение. Будем говорить, что n элементов e1, e2,…, en n-мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна 1, то есть если

1, при i=k

(ei,ek)=

0, при i≠k

Для конкретности докажем, что такая система линейно независима. α1e1+…+αnen=0, умножим скалярно это равенство на ek (k от 1 до n). Мы получим αk=0 => e1, e2,…, en линейно независимы.

Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 1420. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия