Доказательство. Выберем в G произвольный ортонормированный базис e1, e2, , ek
Выберем в G произвольный ортонормированный базис e1, e2,…, ek. Этот базис можно дополнить элементами fk+1,…, fn пространства E до базиса во всем E. Произведя процесс ортогонализации элементов e1, e2,…, ek, fk+1,…, fn, мы получим ортонормированный элемент x пространства E. Разложив произвольный элемент x пространства E по этому базису, то есть представив его в виде x=x1e1+…+xkek+xk+1fk+1+…+xnfn, мы получим, что этот элемент x однозначно представим в виде x=x’+x’’, где x’= x1e1+…+xkek совершенно определенный элемент G, а x’’= xk+1fk+1+…+xnfn – совершенно определенный элемент ортогонального дополнения F (каждый элемент ek+1,…, en ортогонален к любому из элементов e1, e2,…, ek, а потому ортогонален любому элементу G; поэтому и линейная комбинация xk+1fk+1+…+xnfn ортогональна к любому элементу G, то есть является совершенно определенным элементом F). Теорема доказана.
Определение. Два евклидовых пространства E и E’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y пространства E отвечают соответственно элементы x’ и y’ пространства E’, то элементу x+y отвечает элемент x’+y’, элементу λx (при любом вещественном λ) отвечает элемент λx’ и скалярное произведение (x,y) равно скалярному произведению (x’,y’). Теорема. Все евклидовы пространства одной и той же размерности n изоморфны между собой.
|
