Доказательство. В самом деле, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц

В самом деле, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то из равенства A=U^-1A^’U следует, что detA=detU^-1detA^’detU. Поскольку detU^-1detU=I, то из соотношения detA=detU^-1detA^’detU получаем равенство detA=detA^’.

Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятия определителя detA линейного оператора A, полагая det A=deta, где a – матрица линейного оператора A в любом базисе.

1. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Необходимое и достаточное условие диагональности матрицы линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов.

Пусть A - линейный оператор, а I – тождественный оператор из L(V,V).

Определение. Многочлен относительно λ det(A-λI) называется характеристическим многочленом оператора A.

Согласно следствию detA=detA^’ характеристический многочлен имеет один и тот же вид в любом базисе.

Определение. Уравнение det(A-λI)=0 называется характеристическим уравнением оператора A.

Определение. Число λ называется собственным значением оператора A, если существует ненулевой вектор x такой, что Ax=λx. При этом вектор x называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.

Теорема (без доказательства). Для того, чтобы число λ было собственным значением оператора A, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора A.

Определение. Матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные не на главной диагонали равны нулю.

Теорема. Для того, чтобы матрица A линейного оператора A в данном базисе {e_k} была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные вектора e_k были собственными векторами этого оператора.