Доказательство. Необходимость.Пусть оператор A имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V

Необходимость. Пусть оператор A имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V. Это означает, что некоторым различным элементам x₁ и x₂, x₁-x₂≠0 из V отвечает один и тот же элемент y=Ax₁=Ax₂. Но тогда A(x₁-x₂)=0, и поскольку A имеет обратный (x₁-x₂)=0. Но выше было отмечено, что x₁-x₂≠0. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.

Достаточность. Допустим, что оператор A действует взаимно однозначно из V в V. Тогда каждому элементу yєV отвечает элемент xєV такой, что y=Ax. Поэтому имеется оператор A^-1, обладающий тем свойством, что A^-1y=A^-1(Ax)=x. Легко убедиться, что оператор A^-1 линейный. По определению A^-1 – обратный оператор для оператора A. Достаточность условия утверждения тоже доказана.

Определение. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства V, для которых Ax=0 (Обозначение ker A).

Условие ker A=0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор A имел обратный.

Определение. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства V, представимых в виде y=Ax (Обозначение im A).

Условие im A=V является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор A имел обратный.

1. Матрица линейного оператора. Теорема о соответствии каждой квадратной матрице линейного оператора.

Фиксируем в линейном пространстве V базис e₁, e₂,…, e_n. Пусть x – произвольный элемент V и x=Ʃⁿ_k=1x^ke_k. расположение x по данному базису.

Пусть A – линейный оператор из L(V,V). Тогда из x=Ʃⁿ_k=1x^ke_k получаем Ax=Ʃⁿ_k=1x^kAe_k. Полагая Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j перепишем Ax=Ʃⁿ_k=1x^kAe_k в следющей форме

Ax=Ʃⁿ_k=1x^k Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j= Ʃⁿ_j=1(Ʃⁿ_k=1α^j_kx_k)e_j.

Таким образом, если y=Ax и элемент y имеет координаты y¹, y²,…, yⁿ, то y^j= Ʃⁿ_k=1α^j_kx_k, j=1, 2,…, n.

Рассмотрим квадратную матрицу A с элементами α^j_k: A=(α^j_k). Эта матрица называется матрицей линейного оператора в заданной базисе e₁, e₂,…, e_n.

Замечание 1. Если оператор A нулевой, то все элементы матрицы A этого оператора ранй нулю в любом базисе, то есть A – нулевая матрица.

Замечание 2. Если оператор A единичный, то есть A=I, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами, в этом случае A=E, где E – единичная матрица. (Обозначение единичной матрицы I).

Теорема. Пусть в линейном пространстве V задан базис e₁, e₂,…, e_n и пусть A=(α^j_k) – квадратная матрица, содержащая n строк и n столбцов. Существует единственный линейный оператор A, матрицей которого в заданном базисе является матрица A.