Особенности изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры

Изучение линий второго порядка в школьном курсе алгебры начинается с 8-9 класса. Где данной теме уделяется 16 часов. (приложение 2.)

Линии второго порядка представлены квадратичной и дробно - рациональной функциями. Дробно – рациональная функция изучается в 8 классе, в течении 3 часов. Понятие функции учащиеся усваивают, начиная с 7 класса средней школы; идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции.

В данной работе подробно рассмотрим особенности изучения учащимися квадратичной функции и функции выражающей обратно пропорциональную зависимость.

К изучению класса квадратичных функций учащиеся знают, как строить график линейной функции:

a) метод «загущения» точек на графике;

b) построение по двум точкам;

Однако для построения параболы нужны новые приёмы:

c) приём, основанный на преобразованиях, приводящих функцию к виду , и использования геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного вида - графика функции ;

d) построение по характеристическим точкам и с учетом свойств симметрии. При построении графика функции по характеристическим точкам и с учетом свойств симметрии необходимо использовать следующий алгоритм:

1. Выяснить направление ветвей. Если , то ветви параболы направлены вверх, если , то ветви направлены вниз.

2. Вычислить координаты вершины параболы по формулам и .

3. Найти нули функции и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

4. Вычисляем координаты точки пересечения параболы с осью ординат: и строим точку, симметричную ей относительно оси параболы.

5. Через построенные точки проводим параболу.

Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи квадратичными уравнениями и неравенствами, что дает возможность активно использовать график функции в их решении.

На подготовительном этапе к изучению линий второго порядка, рассматривается функция . По своим свойствам, прежде всего, эта функция немонотонна, в отличие от линейной функции. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: Функция задана формулой на промежутке . Найти множество значений этой функции.

Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на , учащиеся могут допустить ошибку, именно поэтому следует рассмотреть график функции и его построение:

a) методом «загущения точек;

b) по характеристическим точкам.

Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других - медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один - в крупном масштабе на промежутке , другой—в мелком масштабе на промежутке, например, . Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс. В дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция будет ведущим примером функции этого класса.

Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида ; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а, путем построения и сравнения нескольких графиков функции в одной системе координат: .После чего рассматриваются свойства функции при , вводится понятие области определения. При этом сначала рассуждения проводятся с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Таким образом, формирование таких понятий, как наименьшее (или наибольшее) значение квадратичной функции, неограниченность сверху (или снизу) происходит с опорой на наглядные представления. Школьники должны знать и о симметрии графиков функции относительно оси OX при противоположных значениях a, и об изменении «крутизны» параболы при изменении a.

Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид . И здесь также коэффициент получает ясную геометрическую интерпретацию. При этом справедливо следующее утверждение: чтобы построить график функции , где c - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции вдоль оси OY на c единиц масштаба вверх; чтобы построить график функции , где c - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции вдоль оси OY на c единиц масштаба вниз.

Пример 1. Задан график функции . Построить на этом чертеже график функции .

Заметим, что при заданном значении аргумента Х₀ значения функции на одно и то же число, равное 1, больше значений функции . Поэтому для построения соответствующей точки второй функции на графике достаточно поднять на одну единицу график первой функции с абсциссой Х₀. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 единицу весь график первой функции. Доказывается теорема о том, что график любой функции вида может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы .

После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции достаточно простого геометрического смысла. Именно поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям, которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида . Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида , однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, так как требует дополнительных геометрических преобразований, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.

Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель - дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Его можно назвать качественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера применения приема, связанные с изучением квадратичных функций.

Пример 2. На рисунке изображены графики функций и . Как относительно их пройдет график функции ; ; ? Это задание не предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.

Пример 3. На рисунке изображен график функции , пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график функции . Проверить правильность сделанного эскиза, вычислить значения функции при и отметить точки графика. Каким преобразованием можно перевести график функции в график функции ?

Рис.3. График функции

Теперь учащиеся по коэффициентам квадратного трехчлена могут представить общий вид соответствующей параболы и вычислить координаты её вершины, путём выделения полного квадрата в данном трёхчлене. В результате выполнения практических заданий, на построение графика квадратичной функции необходимо в строгой последовательности проговорить и зафиксировать алгоритм построения функции .

В системе упражнений, учебников по алгебре, значительное место отводится задачам прикладного характера. Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств, выбор решения основан на использовании графиков.

При работе с теоретической частью и выполнении заданий учащиеся должны будут проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Затем отмечается, что график любой квадратичной функции - это парабола и приведены различные виды парабол.

В восьмом классе идет изучение функции , изложение материала начинается с анализа примеров реальных зависимостей. Учащимся предлагается рассмотреть зависимость времени движения пешехода от его скорости, длины стороны прямоугольника заданной площади от длины другой его стороны, количества товара, которое можно купить на определенную сумму денег, от цены этого товара. Обобщая эти примеры постепенно приходим к определению функции (называемой обратной пропорциональностью).

Все свойства и график функции в учебнике рассматриваются на примере конкретных функций (Например, ). По точкам строится график данной функции и вводится его название (гипербола). Здесь из свойств выделяются только область определения, промежутки убывания и возрастания функции и делается замечание, что график данной функции не пересекает координатные оси. Исследование проводится подробно для первого случая, когда , а для второго случая ( ) приведены только конечные выводы и результаты.

Традиционно построение графика обратной пропорциональности вызывает у учащихся трудности. Многие строят его небрежно, не соблюдая симметрии ветвей, ветви бывают очень короткие, очень часто в работах учащихся одна из ветвей гиперболы сначала приближается, например, к оси х, а затем удаляется от нее. Для предупреждения подобных ошибок очень важно проанализировать особенности графика, обратив внимание учащихся на то, что график состоит из двух ветвей, симметричных друг другу относительно начала координат. Каждая ветвь гиперболы по мере удаления от начала координат становится все ближе и ближе к осям, но не пересекает их. Бесконечное приближение ветвей к осям координат можно проиллюстрировать в ходе небольшого числового опыта: например, подставить в формулу вместо х несколько достаточно больших чисел в порядке их возрастания и понаблюдать, как изменяется при этом значение .