Решение. Так как правила сложения и умножения для многочленов те же самые, что и для целых чисел (аксиомы кольца)

Так как правила сложения и умножения для многочленов те
же самые, что и для целых чисел (аксиомы кольца), решение этой
задачи ничем не отличается от предыдущей.

Начальная установка:

m(х) = х⁴ - зх² - 4, n(х) = х^З + х² + 4,

(х) = , v(x) = , = , = 1.

Деление:

х⁴ - зх² - 4 = (х - 1). (х^З + х² + 4) - 2х² - 4х, q(x) = х - 1.

Пересчет 6 величин:

m(х) = х^З + х² + 4, n(х) = -2х² - 4х,
= , v()=1, =1, =-x+1.

Заметим, что по определению наибольшего общего делителя
многочленов его старший коэффициент равен единице. Поэтому,
если многочлены умножать на константы (элементы основного
поля, в данном примере поля Q рациональных чисел), то их наи-
больший общий делитель не меняется. Например, в нашем случае

 

На основании этого изменим вычислительную схему следующим
образом: при появлении остатка, старший коэффициент кото-
рого не равен 1, при пересчете на следующий шаг разделим оста-
ток на старший коэффициент. Очевидно, что при этом на то же
число надо разделить многочлены и .

С учетом этого замечания, продолжим вычисления со следующими 6 многочленами:

, ,

(Многочлены n(х), , поделены на -2.)
Деление:

+ х² + 4 = (х - 1). (х² + 2х) + 2х + 4, q(x) = х - 1.

Пересчет 6 величин:

,

Деление на старший коэффициент:

,

При следующем делении х² +2х = х(х+2) получаем нулевой
остаток. Следовательно,

Задачи для самостоятельного решения

Найти наибольший общий делитель многочленов и из кольца и его представление в форме

, ,

 

если

 

1) , , 2) , .