Решение. Для решения задачи воспользуемся теорией Фредгольма

 

Для решения задачи воспользуемся теорией Фредгольма. Для этого запишем 4 системы:

1) ,

2) ,

3) ,

4)

Здесь - транспонированная матрица. Теория Фредгольма сводится к трем утверждениям:

Теорема1. Следующие четыре условия эквивалентны:

а) система 1) имеет решение (единственное) при любой правой части у;

б) система 2) имеет только нулевое решение;

в) система 3) имеет решение (единственное) при любой правой части у;

г) система 4) имеет только нулевое решение.

Эквивалентность первого и четвертого утверждений известна, как альтернатива Фредгольма: либо система 1) имеет единственное решение для любой правой части, либо система 4) имеет не нулевое решение.

Теорема 2. Системы 2), 4) имеют одинаковое число линейно независимых решений.

Теорема 3. Система 1) имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда правая часть у ортогональна всем решениям уравнения 4).

Исследуем систему 4). Так как , то оно запишется в следующем виде

 

 

Эта система имеет ненулевое решение только в случае, когда

.

Вычисляя определитель, получим квадратное уравнение Его корни

Таким образом, при система 1) имеет единственное решение для любой правой части у.

Если , то система 4) сводится к одному уравнению . Оно имеет одно линейно независимое решение . По теоремам 1, 3 при и система 1) имеет бесконечно много решений, а при и , не ортогональном вектору , не имеет решений.

Пусть теперь . В этом случае система 4) сводится к уравнению Оно имеет одно линейно независимое решение . По теоремам 1, 3 при и система 1) имеет бесконечно много решений, а при и , не ортогональном вектору , не имеет решений.