Решение. Изоморфизмомполей и называется отображение

Изоморфизмомполей и называется отображение

одного поля на другое, при которой сохраняются операции:

Из этого определения можно вывести такие простые след­ствия. Так как нулевой элемент поля определяется аксиомой

х + 0 = х,

то, применив к этому равенству отображение , получим

Так как — биекция. то когда х пробегает одно поле, пробегает другое. Следовательно, - нулевой элемент вто­рого поля, то есть при изоморфизме ноль должен отображаться в ноль. Совершенно так же устанавливается, что единица ото­бражается в единицу. (Если характеристика поля р > 2, то, продолжая рассуждение, можно установить, что каждый элемент простого подполя отображается в себя).

Элементами поля являются многочлены 4-й степени от с коэффициентами из :

Элементы поля — такие же многочлены от . Пусть — искомый изоморфизм, тогда из определения изоморфизма и указанных простых следствий получим

(1)

Таким образом, изоморфизм полностью определяется зада­нием образа элемента .

Выясним каким должен быть этот образ. Так как

то в силу изоморфизма должно выполняться

Многочлен , корнем которого является и , это минимальный многочлен этих элементов. Итак, при изоморфизме образующий элемент первого поля должен отображаться в элемент второго поля, имеющий тот же самый минимальный многочлен.

Обратно, пусть и . Так как мно­гочлен неприводим, то элементы поля линейно независимы (над ) и все элементы могут быть представлены как многочлены 4-й степени от . Эти много­члены складываются и перемножаются по обычным правилам с заменой на . То есть и отличаются только обозначением образующего элемента и их изоморфизм очевиден.

Замечание. Набор минимальных многочленов элементов конечного поля из р^п элементов определяется однозначно, неза­висимо от того, как построено поле. — это неприводимые дели­тели многочлена деления круга . Поэтому для каждого элемента одного поля всегда найдется элемент другого, имеющий тот же самый минимальный многочлен. Отсюда, в частности, вытекает, что два конечных поля с одинаковым числом элемен­тов всегда изоморфны.

Итак, чтобы установить требуемый изоморфизм, надо в поле найти корень многочлена .

Один из способов решения этой задачи - подставить эле­мент с неопределенными коэффициентами в многочлен:

После выполнения в левой части действий по законам поля (то есть с заменой на ) получается система от­носительно коэффициентов, которую можно решить, перебирая 32 возможных набора этих коэффициентов.

В виду некоторой сложности этого способа в данном примере (для других полей он может оказаться вполне приемлемым), бу­дем решать поставленную задачу иначе: просматривать по оче­реди элементы и определять их минимальные многочлены, пока не встретим нужного.

Для вычислений удобно предварительно составить таблицу поля (см. таблицу).

 

Поле ,

Элемент является корнем многочлена

Остальными корнями этого многочлена являются элементы

Эти элементы далее не рассматриваем.

Найдем минимальный многочлен элемента . Исполь­зуя таблицу поля, вычислим последовательные степени :

Умножая эти равенства на указанные слева коэффициенты и при­равнивая нулю коэффициенты при , …, в правой части, по­лучаем линейную систему для :

а₂=0

Учитывая, что а₀ = 1 (иначе получится приводимый многочлен) без труда находим решение

Таким образом, минимальным многочленом элемента явля­ется многочлен . Остальные его корни — — в дальнейших пробах не участвуют.

Найдем минимальный многочлен элемента Действуя

 

аналогично имеем

Система

=0

Снова полагая а₀ = 1, находим решение

Таким образом, минимальным многочленом элемента явля­ется многочлен Он совпадает с минимальным много­членом элемента а из поля рь Следовательно, нужный изомор­физм получится, если положить Образ любого элемента можно вычислить с помощью соотношения (1).