Типовая задача
Для матрицы
Решение
Сингулярные числа матрицы
Таким образом, сингулярные числа равны
- диагональная матрица с сингулярными числами на главной диагонали. Матрицы
Столбцы матрицы
Поэтому сингулярное разложение матрицы
Полярное разложение матрицы
Задачи для самостоятельного решения
1. Для матрицы 2. Для матрицы
|
найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.
- это квадратные корни из собственных значений матрицы
. Сингулярное разложение матрицы имеет вид 
, где 
- ортогональные матрицы,
строятся с помощью сингулярных базисов. Матрица 
- симметричная и у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. В нашем случае это 
Он образует первый сингулярный базис. Второй сингулярный ортонормированный базис образуют векторы
образуют координаты второго сингулярного базиса, а столбцы матрицы 
- первого сингулярного базиса. Имеем
,
, где 
- эрмитова (симметричная) матрица, а 
- ортогональная матрица. Его можно получить из сингулярного разложения: 
Итак, полярное разложение имеет вид
найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.
найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.
