Типовая задачаДля матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.
Решение
Сингулярные числа матрицы - это квадратные корни из собственных значений матрицы Таким образом, сингулярные числа равны . Сингулярное разложение матрицы имеет вид , где - ортогональные матрицы, - диагональная матрица с сингулярными числами на главной диагонали. Матрицы строятся с помощью сингулярных базисов. Матрица - симметричная и у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. В нашем случае это Он образует первый сингулярный базис. Второй сингулярный ортонормированный базис образуют векторы Столбцы матрицы образуют координаты второго сингулярного базиса, а столбцы матрицы - первого сингулярного базиса. Имеем , Поэтому сингулярное разложение матрицы имеет вид Полярное разложение матрицы - это ее представление в виде произведения , где - эрмитова (симметричная) матрица, а - ортогональная матрица. Его можно получить из сингулярного разложения: Итак, полярное разложение имеет вид
Задачи для самостоятельного решения
1. Для матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения. 2. Для матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.
|