Решение. Элементы поля будем обозначать , так как

Элементы поля будем обозначать , так как . Многочлен 3-й степени имеет вид

,

где и Так как многочлены, полу-
чающиеся один из другого умножением на не нулевую константу
(то есть на -1), естественно не различать, то будем считать, что
. Если , то многочлен разложим

 

поэтому .

Итак, будем далее рассматривать многочлены вида

(2)

Нетрудно подсчитать, что таких многочленов 18 штук. Чтобы
выбрать среди них неприводимые, заметим, что если многочлен
3-й степени приводим, то он представляется в виде произведения
многочленов 1-й и 2-й степени:

.

в этом случае число будет корнем многочлена. Обратно,
если многочлен 3-й степени имеет корень в поле , то он
по теореме Безу делится на и, следовательно, приводим.
Таким образом, из 18 многочленов вида (2) надо отбросить те, ко-
торые имеют корень в поле . Так как , то не является
корнем этих многочленов и будем далее проверять только ±1.
Разделим многочленов на два класса: с и с .

1. . (3)

Для многочленов вида (3), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(4)

Для многочленов вида (3), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(5)

 

2. (6)

Для многочленов вида (6), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(7)

Для многочленов вида (6), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(8)

Отбрасывая многочлены, коэффициенты которых встречаются в списках (4), (5) и (7), (8), получаем следующие неприводимых многочленов

,