Качество управления

Определение: показатели качества управления – это субъективные характеристики процессов в САУ, зависящие от требований Заказчика и от опыта проектировщика САУ (в отличие от объективных характеристик – например, устойчивости).

Группы показателей качества – характеризующие: 1) точность; 2) быстродействие; 3) степень устойчивости; 4) комплексно – все три вида показателей.

Способы определения: 1) – непосредственно по обработке данных о реакциях САУ на типовые воздействия (прямые показатели качества); 2) по косвенным данным (по частотным характеристикам, расположению корней <знаменатель ПФ=0>; по корневым годографам…)

 

Прямые показатели (оцениваются непосредственно по графику изменения выхода во времени)

На рис. – типичный переходный процесс отработки ненулевых начальных условий при внешних воздействиях = 0.

 

А) Показатели, характеризующие свободную составляющую процесса на выходе САУ

1) Время переходного процесса

 

2) Перерегулирование и наступление 1-го максимума

 

3) Декремент затухания

 

4) Частота и период собственных колебаний

 

5) Число полных колебаний

 

Б) Показатели, характеризующие вынужденную составляющую процесса на выходе САУ

1) Статическая ошибка

2 ) Динамическая ошибка

 

3) Астатизм, порядок астатизма

Определение: САУ, замкнутая обратной связью, обладает астатизмом k- го порядка, если в прямой цепи соответствующей ей разомкнутой САУ содержится сомножитель p^k (иными словами, в структуре разомкнутой САУ имеется цепь из k интегрирующих звеньев, включенных последовательно).

Частные случаи: а) при астатизме 1-го порядка постоянные задающие воздействия воспроизводятся без ошибки (отсутствует статическая ошибка). При переменных задающих воздействиях имеется ненулевая динамическая ошибка.

б) При астатизме 2-го порядка постоянные и линейно зависящие от времени задающие воздействия воспроизводятся без ошибки. При задающих воздействиях, зависимость от времени которых отличается от линейной, имеется ненулевая динамическая ошибка.

в). При астатизме 3-го порядка постоянные, линейно и квадратично зависящие от времени задающие воздействия воспроизводятся без ошибки. При задающих воздействиях, зависимость от времени которых более сложна, чем квадратичная, имеется динамическая ошибка.

4) Коэффициенты ошибок. Позволяют получить значение рассогласования между гладким (т.е. дифференцируемым сколько угодно раз и поэтому допускающим разложение по степеням) задающим воздействием и выходом САУ «на бесконечности» (т.е. когда САУ «забыла» начальные условия). Общая формула:

 

 

Здесь С ­₀, С ­₁,…, С_m – коэффициенты ошибок, вычисляются по передаточной функции (ПФ) по каналу «задающее воздействие g (t) – рассогласование e (t) между задающим воздействием и выходом САУ» и по производным этой ПФ при s =0 (это соответствует t ®¥):

ПФ по каналу «задающее воздействие g (t) – рассогласование e (t)» вычисляется по формуле:

Здесь W _пр(s), W_ОС (s) – соответственно ПФ прямой цепи и цепи обратной связи.

 

Вычисления проиллюстрируем примером.

Пусть задающее воздействие линейно зависит от времени:

 

Требуется найти установившееся значение ошибки e _уст(t) при этом задающем воздействии. Задана передаточная функция разомкнутой САУ (ПФ прямой цепи), она равна .

Шаг 1. Рассчитываем передаточную функцию САУ по каналу «задающее воздействие – рассогласование».

 

Соответствующая ПФ равна:

 

В примере W _ОС(s) =1, , _.

Шаг 2. Рассчитываем коэффициенты ошибок. Для рассматриваемого примера нужна только первая производная ПФ W_ge(s) при s=0: старшие производные не потребуются, т.к. все производные задающего воздействия в примере выше первой равны нулю. После вычисления полагаем s = 0. Получим коэффициенты ошибок:

(это означает, что если бы задающее воздействие содержало константу, то она была бы воспроизведена выходом САУ без ошибки: статическая ошибка отсутствует).

Шаг 3. Рассчитываем первую производную задающего воздействия:

Шаг 4. Пользуясь формулой с коэффициентами ошибок, находим: установившееся значение рассогласования e (t) между задающим воздействием и выходом задающим воздействием и выходом задающим воздействием и выходом

задающим воздействием и выходом равно:

Это и будет решением данного примера.

 

Косвенные показатели качества

А) Показатели, оцениваемые по распределению корней характеристического уравнения <знаменатель передаточной функции замкнутой САУ = 0>:

Время переходного процесса, Колебательность, Затухание – см. рис. ниже

 

Б) Показатели, оцениваемые по амплитудно-частотной характеристике замкнутой САУ: Частота среза, Полоса пропускания, Резонансная частота, Колебательность, Время переходного процесса, Момент времени наступления первого максимума – см. рисунок ниже

 

В) Показатели, оцениваемые по логарифмической амплитудно-частотной характеристике разомкнутой САУ: частота среза; время переходного процесса; момент времени, при котором наступает перерегулирование.

 

Примеры с ЛАЧХ, включенные в тест Минобразования:

1)Среднечастотная часть логарифмической амплитудно-частотной характеристики определяет… (из формулы, показанной на рисунке выше, ясен ответ: время переходного процесса и перерегулирование)

2)

…

Передаточные функции (ПФ)

 

Относительной степенью передаточной функции называется РАЗНОСТЬ СТЕПЕНЕЙ ЗНАМЕНАТЕЛЯ И ЧИСЛИТЕЛЯ передаточной функции

Построение передаточной функции по дифференциальному уравнению, пример.

Задание: построить ПФ по уравнению . Здесь обозначено: y(t) – выход, u(t) – вход системы управления в функции времени t.

Решение: ПФ имеет форму дроби (в лекциях обозначали W, в тестах обозначена H), используется оператор Лапласа (в лекциях обозначали p, в тестах обозначение s). По определению ПФ есть отношение изображения (по Лапласу) выхода объекта к изображению входа.

Построение ПФ: в числителе – многочлен s правой части уравнения, степени элементов многочлена соответствуют порядку производной. В примере числитель: s + 5. В знаменателе – аналогичный многочлен левой части. В примере: s² + 2. ВНИМАНИЕ: не записывайте s⁰ при элементах уравнения, не являющихся производными.

Ответ в примере:

Частотные характеристики (амплитудно-частотная, логарифмическая)

Построение: Шаг 1. Получить частотную передаточную функцию по обычной передаточной функции. Частотная передаточная функция строится по передаточной функции H(s) путем замены оператора s на комплексный аргумент (jw) (здесь – мнимая единица, w ­– частота). Пример: пусть передаточная функция САУ равна В. Заменяем: . Получим частотную передаточную функцию . Шаг 2. Получить действительную и мнимую частотные характеристики (ЧХ). Разделяем W(jw) на сумму действительной и мнимой части. Если в знаменателе есть комплексное слагаемое – нужно умножить и числитель, и знаменатель на выражение, комплексно-сопряженное к знаменателю. В примере знаменатель не содержит комплексного слагаемого. Получим: , здесь Re(…) Im(…) – соответственно действительная и мнимая ЧХ. Шаг 3. Получить амплитудно-частотную и фазовую частотную ЧХ. Для этого используется формула Эйлера, позволяющая получить: вместо эквивалентное выражение . Здесь - амплитудно-частотная характеристика. В примере . - фазовая частотная характеристика. В примере .

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость амплитуды выхода САУ от частоты w единичного синусоидального сигнала, поступающего на вход. Для построения АЧХ необходимо найти модуль частотной передаточной функции (для чего нужно разделить частотную ПФ на действительную и мнимую части и найти зависимость корня квадратного от суммы квадратов этих частей от частоты). Пример: Если , то вычисляем: . АФХ равна:

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) – это зависимость сдвига фазы выхода САУ по отношению к входу САУ от частоты w единичного синусоидального сигнала, поступающего на вход. Для построения ФЧХ необходимо разделить частотную ПФ на действительную и мнимую части и вычислить арктангенс отношения мнимой части к действительной. Пример: Если , то вычисляем: . ФЧХ равна:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ). Определение: ЛАЧХ – это зависимость десятичного логарифма амплитудно-частотной характеристики A(w) от частоты w (измеряется в децибелах, Дб, шкала ординаты 20Дб). Из соображений масштаба формулу записывают так: . Ось абсцисс – в логарифмическом масштабе, поэтому ось ординат нельзя провести для w = 0 (нуль не имеет логарифма). Эту ось проводят произвольно. ЛАХ принято аппроксимировать отрезками прямых линий.

Построение ЛАЧХ. Используется аппроксимация ЛАЧХ асимптотическими прямыми линиями. Пример: пусть разомкнутая САУ состоит из последовательного соединения звеньев:

Расположение звеньев – в порядке убывания постоянных времени (только для удобства объяснения; порядок звеньев в последовательной цепи безразличен). Пусть

Поскольку амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) последовательно соединенных звеньев = произведению АЧХ каждого звена, логарифмическая АЧХ (ЛАЧХ) будет равна сумме ЛАЧХ каждого звена. Асимптотические ЛАЧХ всех звеньев описаны в разделе «Звенья САУ». Строим асимптотические ЛАЧХ каждого звена и суммируем. Масштаб по оси абсцисс – логарифмический, по оси ординат 0 обычный.

ЛАЧХ цепи в целом представляет собой отрезки, соединяющиеся по сопрягающим частотам: . Общая идея: пока частота меньше сопрягающей, значением частоты можно пренебречь; если частота больше сопрягающей, то можно пренебречь единицей по сравнению со слагаемым, содержащим частоту в качестве сомножителей.

Характерные элементы ЛАЧХ (см. также логарифмические характеристики элементарных звеньев):

1) Пересекает ось ординат в точке 20×lg(K), где K – коэффициент усиления САУ (его можно найти по передаточной функции, полагая в частотной передаточной функции частоту w =0 или в обычной ПР полагая s = 0).

2) Апериодическое звено 1-го порядка (ПФ , где K,T – соответственно коэффициент усиления и постоянная времени) имеет асимптотическую ЛАЧХ с наклонами (0 и –20 Дб/декаду)

3) Интегрирующее звено (ПФ ) имеет ЛАЧХ в виде нисходящей прямой линии с наклоном (– 20 Дб/декаду)

 

4) Дифференцирующее звено (ПФ ) имеет ЛАЧХ в виде восходящей прямой линии с наклоном (+ 20 Дб/декаду)

5) Консервативное звено (ПФ ) имеет ЛАЧХ с разрывом на частоте w=1/T. Характерные наклоны: 0 до частоты разрыва и (–40 Дб/декаду) после частоты разрыва: