Прямая засечка (формулы Юнга)

 

В случаях, когда пункты геодезической сети находятся на значительном расстоянии от начала или конца полигонометрического хода, применяют способ привязки прямой засечкой. Задача состоит в нахождении координат пункта по двум исходным пунктам и измеренным при них углам. Для контроля правильности определения координат пункта используют и третий исходный пункт. Угол между смежными направлениями на определяемом пункте должен быть не менее 30° и не более 150°.

Существуют различные способы решения задачи. Если между пунктами А и В имеется видимость и измерены при них углы b₁ и b₂, которые являются углами треугольника АВР (рисунок 16), то для решения задачи применяют формулы Юнга.

Исходные данные:

Х_А, Y_A; X_B, Y _B; X_C, Y_C.

Измеренные углы: b₁; b₂; b₁¢;; b₂¢;.

Определить: X_P и Y_P.

Порядок решения задачи:

Правило: Если с исходной стороны АВ смотреть на определяемый пункт Р, то слева должен быть пункт А, а справа пункт В.

Из треугольника АВР по теореме синусов

; (68)

Соответствующее этой стороне приращение координат определим по известной формуле

(69)

Имея в виду формулу (68), а также

(70)

можем написать

(71)

Из тригонометрии известно, что

cos (a_АВ - b) = cos a_АВ × cos b₁ + sin a_АВ× sin b₁ (72)

а sin (b₁ + b₂) = sin b₁× cos b₂ + cos b₁× sin b₂ (73)

Подставив данные значения в формулу (71), получим

DХ_АР = (74)

Зная, что DХ_АВ = Х_В – Х_А;

S × cos a_AB = DХ_АВ = Х_В – Х_А; S × sin a_AB = DY_АВ = Y_В – Y_А, то

Х_Р – Х_А = (75)

Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение sin b₁ × sin b₂, получим:

Х_Р – Х_А = (76)

Аналогично найдем Y_Р – Y_А = (77)

Равенства (76) и (77) и есть формулы Юнга для приращений координат.

Точно также найдём формулы Юнга для другой пары приращений координат, соответствующие расстоянию ВР = S₂

Х_Р – Х_В = (78)

Y_Р – Y_В = (79)

Вычислив приращения координат по формулам (76) - (79), затем дважды получают координаты пункта Р

Х_Р = Х_А + DХ_АР; Y_Р = Y_А + DY_АР;

Х_Р = Х_В + DХ_ВР; Y_Р = Y_В + DY_ВР; (80)

Решив уравнения (76) и (77) относительно Х_Р и Y_P и приведя правые части к общему знаменателю, получим формулы Юнга для координат

Х_Р = (81)

Y_Р =

Контроль вычислений. Вычислив координаты точки Р, можно за исходные взять В и Р, а определяемым - пункт А.

Тогда Х_А = (82)

где g = 180° - (b₁ + b₂)

Для полного контроля правильности определения положения пункта Р, имея координаты пунктов В и С, определяют

Х_Р = (83)

Y_Р =

Расхождения между координатами, полученными при первом и втором решениях, должны удовлетворять неравенству

Ö (х¢ - х²)² + (у¢ - у²)² < 3 М_r (84)

М_r = Ö М₁² + М₂² ,

где М₁ и М₂ – СКП положения пункта Р, определенного по двум исходным пунктам (А и В; В и С).

М₁ = (85)

М₂ = (86)

где m_b - CКП измерения угла.

За окончательные значения координат пункта Р принимают среднее арифметическое из полученных значений при двух решениях М = М_r / 2.