Прямая засечка (формулы Гаусса)

 

Если при решении задачи окажется, что видимости между исходными пунктами нет, то применяют формулы Гаусса. Для этого на пунктах А и В измеряют соответственно углы b₁ и b₂, а для контроля правильности определения координат пункта Р измеряют угол b₃ на пункте С (рисунок 17).

Исходные данные: Х_А, Y_A; X_B, Y_B; X_C, Y_C.

Измеренные углы: b₁; b₂; b₃.

Определить: X_P и Y_P.

Порядок решения задачи:

1. Вычисляют дирекционные углы a₁, a₂, и a₃

a₁ = a_АР = a_АК + b₁;

a₂ = a_ВР = a_BL - b₂;

a₃ = a_CР = a_CN - b₃

Два дирекционных угла необходимы для решения задачи, третий – для контроля и повышения точности.

2. Формулы Гаусса выводятся из известного соотношения

tg a₁ = (87)

откуда:

Y_P – Y_A = (X_P – X_A) tg a₁ (88)

Аналогично получим: Y_P – Y_В = (X_P – X_В) tg a₂ (89)

Эти два равенства представляют систему двух уравнений с двумя неизвестными Х_Р и Y_P. Вычтем из уравнения (88) уравнение (89), получим

Y_В – Y_A = X_P (tg a₁ - tg a₂) - X_A tg a₁ + X_В tg a₂, откуда

X_P = (90)

Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:

Y_P = Y_A + (X_P – X_A) tg a₁ или(91)

Y_P = Y_В + (X_P – X_В) tg a₂

Формулы Гаусса (90) и (91) служат для непосредственного вычисления значений координат пункта Р.

3. Вычтем из обеих частей равенства (90) X_A и приведя правую часть к общему знаменателю, будем иметь

X_P – Х_А = (92)

Подобно этому найдем

X_P – Х_В = (93)

Полученные два равенства вместе с равенствами (88) и (89) представляют собой формулы Гаусса для приращения координат. Вычислив их, координаты пункта Р определяют дважды:

X_P = Х_А + (Х_Р – Х_А) = Х_В + (Х_Р – Х_В)

Y_P = Y_А + (Y_Р – Y_А) = Y_В + (Y_Р – Y_В)(94)

4. Используя координаты другой пары данных пунктов В и С и соответствующие им дирекционные углы a₂ и a₃, второй раз вычисляют координаты пункта Р.

Например, формулы Гаусса для непосредственных вычислений значений координат пункта Р по второй паре

X_P = (95)

Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:

Y_P = Y_В + (X_P – X_В) tg a₂ или (96)

Y_P = Y_С + (X_P – X_С) tg a₂

5. Оценка точности. Допустимость расхождения между значениями координат, полученными при двух решениях задачи, может быть определена по тем же формулам, что и при решении задачи по формулам Юнга.