Гармонические колебания и их характеристикиГармонические колебания представляют собой наиболее простой вид колебаний. Гармоническими называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса (синуса). Изучение гармонических колебаний важно по следующим причинам: а) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; б) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение периодических колебаний. Гармонические колебания некоторой величины описываются уравнениями вида: , , где – амплитуда колебания, т.е. положительное наибольшее отклонение величины от ее значения в состоянии равновесия; – круговая или циклическая частота; и – фазы колебаний, характеризующие текущее отклонение величины от состояния равновесия. При или , т.е. и – это начальные фазы колебаний. Существуют связи между параметрами гармонических колебаний: , где – частота колебаний или количество полных колебаний в единицу времени, – период колебаний, или время одного полного колебания. Необходимо отметить, что выражение с синусом используется тогда, когда колебания начинаются от положения равновесия. А выражение с косинусом применяются тогда, когда колебания начинаются от максимального отклонения. Продолжим рассмотрение характеристик свободных гармонических колебаний. Определим скорость и ускорение колеблющейся материальной точки. ; ; . Видно, что скорость и ускорение колеблющейся точки изменяются со временем также по гармоническому закону. Колебания скорости опережают колебания координаты на угол , колебания ускорения происходят в противофазе с колебаниями координаты (левый рисунок). Кинетическая энергия К материальной точки массой , совершающей колебания: Для определения потенциальной энергии П материальной точки, запишем выражение для силы , действующей на точку. По второму закону Ньютона Поскольку , . Такая зависимость характерна для упругой силы. Работа этой силы при элементарном бесконечно малом изменении конфигурации системы (изменении ) равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус: .
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются от 0 до по гармоническому закону с частотой (правый рисунок). Колебания кинетической энергии происходят в противофазе с колебаниями потенциальной энергии, а их сумма в любой момент времени одинакова (упругая сила консервативна, следовательно, выполняется закон сохранения энергии).
|