Математический маятник

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести.

Изобразим такой маятник в момент, когда нить подвеса отклонена влево от вертикали на угол , маятник движется влево. Введем следующие обозначения: – сила тяжести, – сила натяжения нити, – радиус-вектор.

Момента силы тяжести относительно оси. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения так, что образует правый винт с направлением вращения (движения) маятника. Угловое ускорение совпадает по направлению с вектором , если угловая скорость увеличивается, и направлено в противоположную сторону, если скорость уменьшается. Пренебрежем силами трения и сопротивления среды. Для получения уравнения движения применим основной закон вращательного движения твердого тела.

В этом уравнении – момент инерции точки относительно оси, проходящей через точку подвеса. Момент силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия; момент силы натяжения нити относительно той же оси равен нулю.

Величины, входящие в уравнение запишем следующим образом:

, ,

Отсюда основной закон вращательного движения в проекции на ось вращения может быть записан в следующем виде.

Знак "минус" означает, что действие силы тяжести направлено против движения маятника. Окончательно получим.

где

В итоге получили обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника при любой величине угла отклонения от вертикали. Если рассматривать малые отклонения маятника от положения равновесия , то из выражения следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний (при ):

при этом имеет смысл собственной круговой частоты малых колебаний математического маятника. Период этих колебаний определяется по формуле . Решением этого уравнения является известная формула гармонических колебаний