Свободные затухающие механические колебания

 

В предыдущих разделах мы рассмотрели идеальные колебательные системы, т.е. такие системы, в которых первоначально запасенная энергия не переходит в другие виды энергий, например, в тепловую энергию. Говорят, что в системе не происходит диссипация энергии. Однако в реальных системах всегда присутствуют процессы, приводящие к диссипации энергии (к потерям колебательной энергии). Это могут быть, например, силы трения. Эти процессы вызывают изменение амплитуды или затухание свободных колебаний. Рассмотрим законы изменения параметров свободных затухающих колебаний.

Свободные затухающие колебания – это такие свободные колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Чаще всего для простоты рассматривают линейные системы, т.е. такие идеализированные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. В качестве линейной системы, например, можно рассматривать пружинный маятник при малых растяжениях пружины, когда справедлив закон Гука F_x = k×x. Линейные системы описываются линейными дифференциальными системами уравнений.

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях, силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости. Тогда силу сопротивления (или силу трения) можно записать в следующем виде.

где r – коэффициент сопротивления, а v – скорость движения.

Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x.

Первый член в правой части это возвращающая сила, а второй – сила сопротивления. Распишем последнее выражение.

Перепишем по другому.

Введём обозначения и Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, (дифференциальное уравнение затухающих колебаний) запишется следующим образом.

, или . (1)

В этом уравнении – коэффициент затухания, – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы в отсутствие потерь энергии (при ). Её называют собственной частотой колебательной системы.

В случае малых затуханий () решение уравнения затухающих колебаний имеет вид

, (2)

где – амплитуда затухающих колебаний, – начальная амплитуда.

На рисунке показан вид колебаний, которые описываются уравнением затухающих колебаний (сплошная линия). На этом же рисунке показана зависимость амплитуды колебаний от времени (штриховая линия).

Промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в раз, называется временем релаксации.

Колебание не является периодическим и, тем более, не является гармоническим. Периодичность такого колебания нарушается затуханием. Следовательно, строго говоря, к затухающим колебаниям неприменимо понятие периода или частоты. Но, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.

Найдём частоту затухающих колебаний w. Здесь эта частота уже не равна w₀. (w ¹ w₀). Подставим (2) в (1). Но сначала отдельно найдём производные смещения по времени.

 

Подставим эти значения в (1) и сразу сократим на .

Сократим на косинус и выразим w.

.

w₀ – круговая частота собственных колебаний (колебаний без затухания).

w – круговая частота свободных затухающих колебаний. Из последнего выражения ясно, почему решение уравнения (1) будет только при b £ w₀.

Тогда период затухающих колебаний равен

Для колебаний под действием различных квазиупругих сил значения w₀, w, b будут различными. Например, для колебаний под действием упругой силы.

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметное увеличение периода колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому, т.е. b = w₀, то w = 0 (обращается в нуль). Колебания прекращаются – апериодический процесс. Отличия в следующем. При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет какой-то запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил трения.