Свободные затухающие электрические колебания в контуре

 

Реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Учтем фактор затухания в выражении для закона Ома или по второму правилу Кирхгофа.

.

Разделим это уравнение на и заменим ток на заряд . В итоге получим:

Введем обозначение и, учитывая, что , получим окончательно.

Это уравнение, как и ожидалось, совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний. При условии, что , т.е. при решение уравнения затухающих колебаний имеет вид

, (1)

где . Если в это выражение подставить соответствующие выражения для и , получим следующее соотношение для частоты затухающих колебаний:

При получится выражение для собственной частоты незатухающих свободных колебаний в контуре.

Из уравнения для затухающих колебаний легко получить формулу для напряжения на конденсаторе, разделив уравнение (1) на емкость , и выражение для тока в контуре после дифференцирования этого же уравнения. Отпуская эти и ряд других несложных преобразований, запишем лишь один из результатов анализа формул, которые после этих преобразований могут быть получены. Этот результат касается разности фаз между током и падением напряжения на конденсаторе колебательного контура: при наличии активного сопротивления в контуре сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на угол , больший, чем ().

График изменения заряда со временем изображен на рисунке и подобен соответствующему графику для механических колебаний.

Как и в случае механических колебаний, затухание электрических колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания:

 

 

.

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний , совершаемых за время, в течение которого амплитуда затухающего колебания уменьшится в раз (за время релаксации). Если в выражение для логарифмического декремента затухания подставить значения для и , получим следующую форму записи:

Получили, что логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура, т.е. является его характеристикой.

Добротность контура – это величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.

Добротность контура пропорциональна числу колебаний , совершаемых за время релаксации. Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в раз.

Добротность контура определяется ещё и по-другому.

Это отношение энергии в контуре в данный момент времени к убыли энергии за один период, следующий за этим моментом.

При , т.е. при происходит апериодический разряд.

Конденсатор просто разряжается на сопротивление, и колебания не происходят.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением.