Вынужденные электрические колебания

 

Для компенсации потерь в колебательном контуре нужно оказывать на контур периодически изменяющееся воздействие. Это можно осуществить, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение. (1)

Это напряжение нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции в исходной формуле для затухающих колебаний.

Рассмотрим этот вопрос кратко используя аналогию с механическими колебаниями.

 

 

Уравнение вынужденных электрических колебаний имеет вид.

(2)

Мы имеем уже известное нам неоднородное линейное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение неоднородного дифференциального уравнения представим в виде его частного решения для установившихся колебаний. Это решение, как и для механических вынужденных колебаний, имеет вид:

, (3)

где  амплитуда заряда на конденсаторе; (пси) – разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с.

Выражения для постоянных величин и , как и для механических колебаний, запишем без вывода:

, (4)

Если подставить значения и , получим выражения для этих величин, записанные через параметры контура:

, (5)

С использованием соотношений для постоянных величин и можно провести анализ параметров вынужденных колебаний в контуре. Как и в случае затухающих свободных колебаний ограничимся лишь общими выводами о сдвиге фаз колебаний тока и напряжения на элементах контура. Эти выводы следующие:

- напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол ;

- напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током;

- напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол .

Величина (6)

называется полным сопротивлением цепи (или импеданс).

Величина называется реактивным сопротивлением цепи.

При последовательном соединении L, C, R, при X = 0 () наблюдается резонанс напряжений. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль.

На конденсаторе напряжение достигает максимума при круговой частоте равной

.

Полное сопротивление Z = R и тогда U = U_R, а U_C и U_L одинаковы по величине и противоположны по фазе.

Такой вид резонанса называется резонансом напряжений или последовательным резонансом. Можно записать.

Т.е. при резонансе на ёмкости можно получить напряжение с амплитудой в узком диапазоне частот. Это свойство используется в усилителях напряжения.

Ниже приведены графики зависимостей напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность (напряжения на резисторе) от частота.

В цепях переменного тока содержащих параллельно включённые ёмкость и индуктивность наблюдается другой тип резонанса.

Сопротивление контура мало R = 0.

Для тока через ёмкость имеем.

(7)

При R = 0 и L = 0

, т.е. ,

где n = 1, 2, 3,...

Аналогично для тока через индуктивность.

(8)

При R = 0 и С = ¥; (условие отсутствия ёмкости в цепи).

, т.е. ,

где n = 1, 2, 3,...

Из (7) и (8) вытекает, разность фаз токов в разных ветвях цепи будет равна

, т.е. токи в этих цепях противоположны по фазе.

По первому правилу Кирхгофа I = I₁ + I₂. Тогда для амплитудных значений можно записать.

(9)

Если , то I_max1 = I_max2 и I_max = 0.

Явление резкого уменьшения тока во внешней цепи при приближении частоты w приложенного напряжения к резонансной частоте w_рез называется резонансом токов или параллельным резонансом. Это свойство используется в резонансных усилителях и фильтрах.

Ниже приведён график зависимости тока во внешней цепи от частоты внешней э.д.с.