Пример выполнения задания

Пример решения задачи № 1

Дан тонкостенный стальной стержнь длиной ℓ;, имеющий форму поперечного сечения (рис. 10.7) и нагруженный продольной растягивающей силой Р, приложенной к незакрепленному концевому сечению в т. А.

(Записать текст задания по п. 10.1).

Данные: Р = 90 кН, ℓ; = 6 м, a = 8 см, d = 1см.

 

 

Рисунок 10.7 – Схема заданного поперечного сечения стержня

 

Закрепленное концевое сечение стержня жестко заделано.

Решение:

1. Определяем положение центра тяжести сечения.

Данное сечение имеет ось симметрии (ось у). Поэтому центр тяжести сечения расположен на этой оси. Его координата относительно оси х (рис. 10.7):

Для проверки вычислений определим статический момент сечения относительно оси х, который должен быть равен нулю:

Незначительное отклонение от нуля связано с округлением значения у _{1 с} .

Вычерчиваем контур сечения в масштабе (рис. 10.8, а) и строим эпюры линейных координат х, у точек контура (рис. 10.8, б, в).

 

а б в

 

Рисунок 10.8 – Построение эпюр линейных координат

 

 

По формулам (10.26), применив способ А.К. Верещагина, находим главные центральные моменты инерции сечения:

 

2. Определяем положение центра изгиба сечения.

Согласно формулам (10.22), необходимо найти секториальные центробежные моменты инерции сечения с использованием произвольно выбираемых вспомогательного полюса А₀ и начальной
точки К_0.

Выбираем точку А₀ на оси симметрии у (см. рис. 10.8, а), а точку К₀ совместим с точкой А₀.

Строим эпюру вспомогательных секториальных координат (см. пример в п. 10.2.4).

Эпюра w₀ приведена на рис. 10.9, а.

а б

 

Рисунок 10.9 – Построение эпюр w ₀ и w

 

 

По формулам (10.25), применив способ А.К. Верещагина, находим значения Jw _{0 У} и Jw _{0 Х} , перемножив эпюру w ₀ соответственно с эпюрами х и у:

 

 

так как перемножение кососимметричной эпюры w ₀ с симметричной эпюрой y дает нуль.

По формулам (10.22) находим положение главного полюса А (центр изгиба):

 

 

Откладываем координату а_у от вспомогательного полюса А₀ и строим эпюру главных секториальных координат (см. рис. 10.9, б). Эта эпюра характеризует депланацию сечения (см. (10.12)). В данном случае главная нулевая секториальная точка К совпадает с точкой К₀.

Перемножая эпюру w саму на себя по способу А.К. Верещагина, согласно (10.25) находим секториальный момент инерции сечения:

3. Определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня.

Координаты точки приложения силы:

х_р = 16 см, у_р = -13,7см, w_р = -284,8 см².

Внутренние силовые факторы в поперечном сечении, примыкающем к свободному концевому сечению:

нормальная сила: N = Р = 99 кН;

изгибающие:

;

бимомент: ;

крутящий момент: M_z = M_к + M w = 0.

Внутренние усилия N, M_y, M_x по длине стержня не изменяются, то есть их эпюры имеют форму прямоугольника.

Бимомент В, крутящий момент свободного кручения М_к, изгибно-крутящий момент М_w по длине стержня изменяются. Для их определения воспользуемся уравнениями (10.41).

Поместим начало координат в центр тяжести заделанного сечения стержня (на рис. 10.7 ось z проходит через т. С и направлена к наблюдателю).

По уравнениям метода начальных параметров (10.41) имеем:

Входящие в это уравнение начальные параметры Остается определить бимомент В ₀ в заданном сечении. Из граничного условия для свободного торца: х = ℓ;, В = Р w_р. Пользуясь третьим уравнением (10.41), получаем:

 

Р w_р = В ₀ chaℓ;,

 

откуда = Р w_р / chaℓ;.

Следовательно, согласно уравнениям (10.41), имеем:

Значение геометрической характеристики крутильной жесткости J_к, входящей в уравнение для углов закручивания j, найдем по формуле (10.3):

Тогда

Изгибно-крутильную характеристику жесткости a определим по (10.28):

где

Учитывая найденные значения, получим:

Вычислим значения j, В, М_w, М_к в ряде сечений стержня и построим соответствующие эпюры (табл. 10.3, рис. 10.10).

 

Таблица 10.3 – Значения j, В, М_w, М_к для построения эпюр

Координата сечения z	sha z	cha z	Значения j, В, Мw, Мк в сечениях стержня
j, рад	В, кНм2	Мw, кНм	Мк, кНм
				-1,598
0,25 ℓ; = 1,5м	0,2655	1,0347	1,858*10-3	-1,654	-0,07423	0,0742
0,5 ℓ; = 3м	0,5495	1,141	7,551*10-3	-1,823	-0,1536	0,1536
0,75 ℓ; = 4,5м	0,8715	1,3264	1,748*10-2	-2,120	-0,2437	0,2437
ℓ; = 6м	1,254	1,604	3,234*10-2	-2,563	-0,3506	0,3506

 

 

Рисунок 10.10 – Схема нагружения стержня и эпюры j, М_w, М_к

 

 

4. Строим эпюру распределения нормальных напряжений в сечении стержня, прилегающем к его свободному торцу.

Для этого определим законы распределения напряжений от действия внутренних силовых факторов в отдельности:

 

 

Пользуясь этими зависимостями, строим эпюры распределения напряжений от действия каждого внутреннего силового фактора
(рис. 10.11). При этом используем построенные эпюры координат (см. рис. 10.7 и 10.9), умножая последние на соответствующие числовые коэффициенты.

а б в

 

г д

 

Рисунок 10.11 – Эпюры нормальных напряжений

 

В результате суммирования напряжений, найденных от каждого силового фактора, получаем результирующие напряжения в характерных точках и строим окончательную эпюру нормальных напряжений (см. рис. 10.11, д).