Пример решения задачи № 2

 

Тонкостенный стальной стержень открытого профиля в форме швеллера, закрепленный по концам согласно рис. 10.12, находится под действием двух сосредоточенных сил Р ₁ и Р ₂, приложенных соответственно в сечениях А-А и В-В.

(Записать текст задания по п. 10.1).

Данные: ℓ = 3 м; b = 10 см; h = 20 см; а ₁ = 0,3 ℓ;; a ₂ = 0,7 ℓ;; c = 0,2 b;
s = 0,4 b; d = 0,1 b; P ₁ = 3 кН; Р ₂ = 2 кН.

Повороты опорных сечений исключены, депланация не стеснена.

Решение:

1–2. Рассмотрим поперечное сечение стержня и определим его геометрические характеристики (см. рис. 10.5).

Площадь сечения: .

Координата центра тяжести относительно оси у ₁ (см. рис. 10.5):

Дальнейший расчет выполняется согласно методике, изложенной в примере п. 10.2.4 (расчет дать полностью).

Найденные значения главных центральных моментов инерции:

J_x = 2667 см⁴; J_y = 417 см⁴.

Положение центра изгиба (центра кручения, главного полюса) показано на рис. 10.6, а, а эпюра главных секториальных координат построена на рис. 10.6, б. Путем умножения этой эпюры самой на себя найдено значение секториального момента инерции сечения:

J_w = 29167 см⁴.

3. Определим изгибно-крутильную характеристику жесткости стержня.

 

Рисунок 10.12 – Схема опирания и нагружения стержня

 

Предварительно находим геометрическую характеристику крутильной жесткости J_к по формуле (10.4):

 

где размеры стенки (h_c, d_c) и полки (h_n, d_n) швеллера определены по
рис. 10.5, а.

Жесткость сечения при свободном кручении:

 

.

Секториальная жесткость тонкостенного сечения:

 

.

Изгибно-крутильная жесткость:

 

4. Записываем универсальные уравнения метода начальных параметров при стесненном кручении (см. (10.41) и (10.42)):

 

;

Для заданной расчетной схемы (рис. 10.12) имеем:

 

Причем координата центра кручения а_х = -3,75 см найдена в примере п. 10.2.4.

Уравнения метода начальных параметров в данном случае принимают вид:

 

Входящие в это уравнение начальные параметры определим из граничных условий на правом конце стержня (при z = ℓ;):

j (ℓ;) = 0, B (ℓ;) = 0.

В развернутой форме граничные условия имеют вид:

 

Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим:

Подставив найденные значения в уравнения, окончательно
получим:

 

 

5. Построим эпюры внутренних силовых факторов и углов закручивания стержня.

Находим реакции опор стержня от вертикальной силы Р ₁ и горизонтальной силы Р ₂:

Пользуясь методом сечений, строим эпюры Q_y, M_x, Q_x, M_y, M_z
(рис. 10.13).

Рисунок 10.13 – Расчетная схема

и эпюры для тонкостенного стержня

Таблица 10.4 – Значения М_w, М_к, В и j для построения эпюр

Функция	Значения z, м
	0,3	0,6	0,9–	0,9+	1,3	1,7	2,1–	2,1+	2,4	2,7	3,0
shaz		0,4426	0,9680	1,6747	3,1350	5,6510	10,069	15,490	23,805	36,586
chaz		1,0936	1,3918	1,9505	3,2906	5,7387	10,119	15,523	23,837	36,60
sha(z-0,9)	–	–	–	–		0,6042	1,4118	2,6947	4,2190	6,5329	10,069
cha(z-0,9)	–	–	–	–		1,1683	1,7301	2,8742	4,3359	6,6090	10,119
sha(z-2,1)	–	–	–	–	–	–	–		0,4426	0,9680	1,6747
cha(z-2,1)	–	–	–	–	–	–	–		1,0936	1,3918	1,9505
Mw, Нм	-69,52	-76,03	-96,76	-135,6	96,90	42,87	3,294	-35,22	84,78	60,17	46,46	42,30
Mк, Нм	-129,23	-122,72	-101,99	-63,15	-63,15	-9,117	30,456	68,97	93,58	107,29	111,45
В, Нм2		-21,50	-47,025	-81,36	81,36	-54,13	-45,15	-51,33	-51,33	-29,91	-13,85	-0,963
j, рад.		-3,1919 *10-3	-6,047 *10-3	-8,165 *10-3	-8,165 *10-3	-9,315 *10-3	-8,938 *10-3	-7,293 *10-3	-7,293 *10-3	-5,230 *10-3	-2,721 *10-3	4,824 *10-5

 

Для построения эпюр М_w, М_к, В и j производим вычисления, результаты которых заносим в таблицу 10.4.

По найденным значениям строим эпюры М_w, М_к, В (см.
рис. 10.13).

6. Построим эпюры распределения нормальных и касательных напряжений в сечении с наибольшим бимоментом.

В этом сечении:

Определим законы распределения нормальных напряжений от действия каждого внутреннего силового фактора:

Пользуясь данными выражениями, строим эпюры нормальных напряжений от действия каждого внутреннего силового фактора
(рис. 10.14). При этом используем эпюры линейных и секториальных координат (см. рис. 10.5, г, д и 10.6, б).

а б в г

 

Рисунок 10.14 – Эпюры нормальных напряжений

 

Суммируя напряжения от действия М_х, М_у и В, строим результирующую эпюру нормальных напряжений (см. рис. 10.14, г).

Касательные напряжения в данном поперечном сечении связаны с внутренними силовыми факторами Q_x, Q_y, M_w, M_k.

По формуле Д.И. Журавского имеем:

Эпюры напряжений t_Qx и t_Qy строим по характерным точкам, вычислив значения статического момента отсеченной части сечения для этих точек (рис. 10.15).

 

а б в г

Рисунок 10.15 –Построение эпюр касательных напряжений

 

Для определения секториальных касательных напряжений t_w построим эпюру , воспользуясь эпюрой w (см. рис. 10.6, б).

Эпюра строится по характерным точкам путем умножения площади эпюры w, соответствующей этим точкам, на толщину d профиля:

.

Например,

;

Эпюра построена на рис. 10.15, в.

Напряжения t_w определяем по формуле (10.18):

. (*)

Отсюда следует, что эпюра t_w подобна эпюре .

Напряжения t_w в характерных точках (см. рис. 10.15, г):

Эпюра t_w представлена на рис. 10.15, г.

Следует иметь в виду, что по формуле (*) определяют напряжения в продольных сечениях стержня. Причем t_w положительны, если направлены в отрицательном направлении оси z (при действии по продольному сечению отсекаемой части стержня, получаемой при обходе контура против хода часовой стрелки).

В поперечном сечении направления секториальных касательных напряжений определяют по закону парности. На эпюре t_w (см.
рис. 10.15, г) направления этих напряжений показаны стрелками.

Касательные напряжения чистого кручения t_к, в отличие от напряжений t_w, t_Qx, t_Qy, распределенных по толщине профиля равномерно, равны нулю в точках средней линии профиля и достигают наибольших значений в крайних точках, принадлежащих длинным сторонам прямоугольников, на которые разбивают сечение. При этом считают, что по толщине сечения t_к распределяются по линейному
закону.

В данном случае по формуле (10.1) имеем:

Элементарные касательные усилия в каждом прямоугольнике образуют моменты, направленные по ходу часовой стрелки, на что указывает знак (–).

Наибольшие касательные напряжения возникают в точке стенки, ближайшей к центру тяжести сечения:

.

Эти напряжения заметно меньше наибольших нормальных напряжений (см. эпюру s на рис. 10.14, г).

Рекомендуемая литература

 

1. Александров, А.В. Сопротивление материалов: учебник для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – С. 306-340.

2. Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин: учебное пособие для студентов вузов / С.В. Бояршинов. – М.: Машиностроение, 1973. – С. 5-59.

3. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Г.С. Варданян, В.И. Андреев, Н.М. Атаров, А.А. Горшков. – М.: Издательство АСВ, 1995. – С. 178-182,
295-311.

4. Сопротивление материалов: учебник для вузов / Под редакцией А.Ф. Смирнова. – М.: Высшая школа, 1975. – С. 311-342.

5. Сборник задач по сопротивлению материалов: учебное пособие для вузов / Под редакцией А.В. Александрова. – М.: Стройиздат, 1977. – С. 216-238.

6. Миролюбов, И.Н. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов / И.Н. Миролюбов, С.А. Енгалыдев, Н.Д. Сергиевский и др. – М.: Высшая школа, 1985. – С. 227-240.

 

Литература

 

1. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 560 с.

2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: Наука, 1996. – 512 с.

3. Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Н.И. Монахов и др. – М.: Высшая школа, 1975. – 480 с.

4. Алмаметов, Ф.З. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов / Ф.З. Алмаметов, С.И. Арсеньев, С.А. Енгалычев и др. – М.: Высшая школа, 1992. – 320 с.

5. Чернышев, В.И. Методические указания по выполнению расчетно-проектировочных работ по курсу «Сопротивление материалов с применением вычислительной техники», часть 1 / В.И. Чернышев, Л.С. Якунин, И.А. Бурнашев, Е.Т. Кобяков и др. – Орел: ОФ ВЗМИ, 1988. – 48 с.

6. Кобяков, Е.Т. Задания и методические указания к расчетно-проектировочным работам по сопротивлению материалов, часть 2 / Е.Т. Кобяков, И.А. Бурнашев, В.И. Чернышев, О.П. Шакулин и др. – Орел: ОФ МИП, 1992. – 52 с.

7. Александров, А.В. Сборник задач по сопротивлению материалов / А.В. Александров, Б.П. Державин, Б.Я. Лащеников и др. – М.: Стройиздат, 1977. – 335 с.

8. Миролюбов, И.Н. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов / И.Н. Миролюбов, С.А. Енгалычев, Н.Д. Сергиевский и др. – М.: Высшая школа, 1985. – 399 с.

9. Долинский, Ф.В. Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников механических, машиностроительных и транспортных специальностей высших учебных заведений / Ф.В. Долинский, М.Н. Михайлов. – М.: Высшая школа, 1990. – 80 с.

10. Кобяков, Е.Т. Расчетные работы по сопротивлению материалов (задания и методические указания), часть 1 / Е.Т. Кобяков, В.И. Чернышев. – Орел: ОрелГТУ, 1996. – 68 с.

11. Кобяков, Е.Т. Расчетные работы по сопротивлению материалов (задания и методические указания), часть 2 / Е.Т. Кобяков, В.И. Чернышев. – Орел: ОрелГТУ, 1996. – 93 с.

12. Чернышев, В.И. Применение метода конечных разностей в задачах изгиба стержней / В.И. Чернышев. – Орел: ОрелГТУ, 1998. – 25 с.

13. Чернышев, В.И. Преобразование Лапласа и его применение в теории изгиба стержней / В.И. Чернышев. – Орел: ОрелГТУ, 2001. – 36 с.

14. Кобяков, Е.Т. Построение эпюр внутренних силовых факторов для плоских статически определимых стержневых систем / Е.Т. Кобяков. – Орел: ОФ МИП, 1993. – 39 с.

15. Кобяков, Е.Т. Определение перемещений в статически определимых балках при прямом поперечном изгибе / Е.Т. Кобяков. – Орел: ОГПИ, 1994. – 34 с.

16. Кобяков, Е.Т. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля / Е.Т. Кобяков. – Орел: ОрелГТУ, 1998. – 44 с.

17. Кобяков, Е.Т. К расчету статически определимых балок ступенчато-переменного сечения / Е.Т. Кобяков. – Орел: ОГПИ, 1994. – 24 с.

18. Кобяков, Е.Т. Определение геометрических характеристик плоских сечений с применением ЭВМ / Е.Т. Кобяков, И.С. Шуев. – Орел: ОФ МИП, 1993. – 26 с.

19. Чапка, А.М. Расчетно-проектировочные работы на программируемых микрокалькуляторах / А.М. Чапка. – М.: Машиностроение, 1988. – 144 с.

20. Кобяков, Е.Т. К вопросу определения усилий и перемещений в элементах стержневых систем / Е.Т. Кобяков // Строительство и архитектура. – 1979. – № 7. – С. 39-43.

21. Спицына, Д.И. Строительная механика стержневых машиностроительных конструкций / Д.И. Спицына. – М.: Высшая школа, 1977. – 248 с.

22. Кобяков, Е.Т. Экспериментальное определение осевых моментов инерции тел и плоских сечений методом колебаний / Е.Т. Кобяков, О.И. Квятковский, И.С. Шуев. – Орел: ОФ МИП, 1992. – 20 с.

23. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп. – М.: Мир, 1982. – 238 с.

24. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В.Д. Потапов. – М.: Высшая школа, 1990. – 400 с.

25. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч. – М.: Наука, 1971. –
288 с.

26. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

27. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – Киев: Наукова думка, 1975. – 704 с.

28. Дьяконов, В.П. MATHCAD 8/2000. Специальный справочник / В.П. Дьяконов. – СПб.: ПИТЕР, 2000. – 592 с.

29. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под редакцией А.С. Вольмира. – М.: Наука, 1984. – 408 с.