К.2 Расчет статически определимых стержней

 

Пример К.1. Для симметричной балки (рис. К.1.) найти прогиб в узловых точках 1 и 2, а также угол поворота опорного сечения балки.

Решение: последовательно записывая уравнение (К.10) относительно узловых точек 1 и 2, получим систему:

где и .

 

 

Рисунок К.1 – Схема к примеру К.1

 

Значения прогибов находятся из краевых условий. Для шарнирного закрепления и .

Поскольку из формулы (К.6)

,

то .

С учетом значений и исходная система уравнений запишется в виде:

Отсюда и .

При прогиб , и его можно сопоставить с точным значением:

.

Погрешность составляет не более 7 %:

.

В разобранном примере длина стержня искусственно увеличивалась, и вводились дополнительные узловые точки, которые использовались для удовлетворения краевым условиям (геометрическому – и силовому – ).

Необходимость в этом отпадает, если алгебраическая система уравнений относительно перемещений в узловых точках составляется по алгоритму, определенному уравнением (К.9).

Для данного случая получим следующую систему уравнений:

или после преобразований:

Характерно, что уравнения данной системы обращаются в тождество при вышенайденных значениях и .

Чтобы определить угол поворота опорного сечения, достаточно разделить значение перемещения в узловой точке 1 на :

.

Точное значение угла поворота

,

то есть погрешность не превышает 7 %:

.

При решении следующей задачи оценим точность получаемых решений при уменьшении длины интервала разбиения.

Пример К.2. Определить перемещение в середине пролета шарнирно закрепленной балки длиной при интервалах разбиения (рис. К.2, а) и (рис. К.2, б). Сопоставить расчетное значение перемещения с точным: .

 

 

а

 

 

б

Рисунок К.2 – Схемы к примеру К.2

Решение: воспользуемся уравнением (К.9). Для схемы а имеем:

или

Складывая левые и правые члены этих уравнений, находим:

.

Погрешность .

Для схемы б составим систему трех уравнений:

Перемещение находим по правилу Крамера [26]:

.

Поскольку , то

.

Погрешность

,

то есть по сравнению с первым вариантом расчета уменьшилась вдвое.

Пример К.3. Для консольной балки (рис. К.3) определить перемещение свободного конца при интервале разбиения . Сопоставить расчетное значение прогиба с точным:

.

Решение: воспользуемся уравнением (К.9) и, записывая его для узловых точек 1, 2 и 3, образуем систему:

 

Рисунок К.3 – Схема к примеру К.3

 

Из геометрических краевых условий в защемлении находим, что , а ( и, соответственно, ).

В правых частях уравнений системы изгибающие моменты определяются из выражений:

Исключаем “лишние” неизвестные и в исходной системе уравнений и преобразуем ее к виду:

Определители системы:

;

.

Отсюда

.

Расчетные значения прогиба практически совпадают с точным.

Погрешность

.