К.3 Расчет статически неопределимых стержней

 

Пример К.4. Определить реакцию шарнирно-подвижной опоры статически неопределимого стержня (рис. К.4).

Решение: запишем аналитические выражения изгибающих моментов для сечений, отмеченных узловыми точками:

.

 

 

 

Рисунок К.4 – Схема стержня к примеру К.4

 

Воспользовавшись (К.9), составляем систему алгебраических уравнений:

Здесь неизвестные составляющие изгибающих моментов (зависящие от реакции R) перенесены в левые части уравнений. Общее число неизвестных (перемещения и реакция) превышает число уравнений.

Из условий закрепления стержня следует, что перемещения равны нулю, а перемещение дополнительной узловой точки . Последнее соотношение обеспечивает равенство нулю угла поворота в защемлении и следует из формулы (К.5), так как числитель в (К.5) равен нулю.

Используя эти данные и учитывая, что , преобразуем исходную систему уравнений к виду:

Здесь уже число уравнений равно числу неизвестных, и последние могут быть определены.

Вычисляем реакцию опоры по правилу Крамера:

.

Точное значение реакции: [27].

Отсюда погрешность

.

Пример К.5. Раскрыть статическую неопределимость стержня с защемленными концами (рис. К.5).

Решение: расчетная схема стержня симметрична, и , то есть задача фактически один раз статически неопределима. Неизвестным является момент М.

 

Рисунок К.5 – Схема стержня к примеру К.5

Используя (К.9), составим следующую систему уравнений:

Из условия симметрии . В защемлении (угол поворота, определяемый по формуле (К.3), равен нулю).

Используя эти данные, преобразуем исходную систему уравнений к виду:

Число уравнений равно числу неизвестных (перемещения и момент). Определяем момент:

.

При имеем: .

Точное значение момента [27]:

.

Погрешность

.

Пример К.6. Определить реакцию средней опоры двухпролетной балки при минимально допустимом числе интервалов разбиения (рис. К.6, а)

Решение: вариант 1. При существующей взаимозависимости реакции опор (рис. К.6, б) моменты в сечениях, приходящихся на узловые точки 1, 2 и 3, определяются из выражений:

Учитывая, что перемещения опорных сечений равны нулю, запишем следующую систему уравнений:

 

 

а

 

 

б

 

 

в

 

Рисунок К.6 – Расчетные схемы к примеру К.6

Вычисляем определители системы:

Отсюда реакция опоры:

.

Вариант 2. Считаем неизвестными реакции опор (рис. К.6, в).

Тогда

.

Составляем систему уравнений, в состав которой включаем дополнительное уравнение равновесия:

Вычисляем определители системы:

Отсюда, как и в первом варианте, имеем:

.

Рассмотренный подход к решению задачи позволяет значительно облегчить и, главное, формализовать процесс составления алгебраических уравнений. При этом можно не делать различия между статически определимыми и статически неопределимыми задачами, считая реакции опор неизвестными и доопределяя исходную систему алгебраических уравнений уравнениями равновесия.