К.1 Основы метода конечных разностей

 

Для получения приближенных значений прогибов (перемещений) и углов поворотов при изгибе стержня можно воспользоваться методом конечных разностей [23]. Этот метод позволяет для исходного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня

(К.1)

или

(К.2)

составить конечно-разностные уравнения и тем самым образовать систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений в узловых точках.

Алгоритмы решения таких систем хорошо отработаны, и имеются готовые программы для ЭВМ. Использование современных ЭВМ обеспечивает не только оперативное получение решений и приемлемую их точность при увеличении порядка системы практически до нескольких тысяч, но и вычисление коэффициентов определителей системы по исходным данным – нагрузкам, геометрическим размерам и краевым условиям стержня.

Однако при постановке и решении задач изгиба, связанных с учетом неоднородности внутренней структуры стержней, краевых условий, температурных полей и т. п. не всегда возможно использовать имеющиеся готовые программы и приходится разрабатывать специальные программы.

Ниже на примерах решения конкретных задач изгиба стержней показаны основные правила и особенности составления конечно-разностных уравнений, а также определения неизвестных перемещений, углов поворотов и реакций опор.

Соответствующие приемы решения типовых задач можно использовать при разработке алгоритмов и программ специального наз-начения.

К.1.1 Вывод центральных конечно-разностных формул

 

Пусть уравнение изогнутой оси стержня описывается функцией .

Согласно теореме Тейлора, значения функции в узловых точках с координатами и могут быть выражены через производные в i -й узловой точке с координатами степенными ря-дами:

; (К.3)

, (К.4)

где и т.д.;

D – расстояние между узловыми точками при равных интервалах разбиения длины стержня.

Если ограничиться тремя членами ряда в (К.3) и (К.4), то, вычитая и складывая их, найдем первую и вторую производные в i -й узловой точке:

; (К.5)

. (К.6)

Воспользуемся этими формулами для нахождения третьей и четвертой производных:

;

,

которые после исключения из них согласно (К.6) вторых производных и приведения подобных слагаемых запишутся в виде:

 

; (К.7)

. (К.8)

 

В полученных формулах наблюдается “симметрия индексов” относительно узловой точки как центра. Поэтому эти формулы принято называть центральными конечными разностями.

При необходимости можно использовать и односторонние формулы, в которых производные определяются через правые (или левые) ординаты относительно узловой точки, а также формулы, в которых учитывается неравномерность шага разбиения длины стержня [24].