Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания

наших двух систем будет иметь один и тот же вид:

Решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний - ξ(t) - состоит из двух слагаемых:

,

здесь ξ₁(t) - общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части (см. 14.4.5.),

ξ₂(t) - частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой частью - (14.5.5)

- из (14.4.6),

здесь - - частота затухающих колебаний.

ξ₁(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение ξ(t) определяется, в основном, слагаемым ξ₂(t). Наша задача - найти ξ₂(t).

 

Частное решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения - ξ₂(t). Ищем ξ₂(t) в виде гармонической функции изменяющейся с частотой внешнего воздействия ω;:

.

Первая и вторая производные от этой функции также будут гармоническими функциями, изменяющиеся с частотой ω;. Значит, в уравнении 14.5.3.5, в левой его части, будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, справа - гармоническая функция той же частоты, т.е. сумма трех колебаний одной частоты равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сложении колебаний мы решим методом векторных диаграмм (14.3.1.), для этого и , после нахождения этих производных, запишем с помощью функции косинуса:

.