Еквівалентна система

Для усунення першої суперечності в основній системі, тобто для усунення відмін у деформаціях, створимо еквівалентну систему, тобто надамо додатковим в’язям поки що невідомі переміщення – жорсткі вузли разом із «плаваючими» затисненнями повертаємо на кути, що дорівнюють дійсним кутам повороту вузлів системи від зовнішнього навантаження, а додатковим опорним стержням даємо поступальні переміщення, які до-

рівнюють дійсним поступальним переміщенням вузлів вихідної системи.

Таким чином, основними невідомими методу переміщень є кути повороту жорстких вузлів системи та незалежні поступальні переміщення її вузлів. Ці невідомі методу переміщень позначаються літерами (і = 1, 2, 3…).

Усунувши першу суперечність у деформаціях між вихідною розрахунковою схемою й основною системою створимо еквівалентну систему.

Наприклад, для рами, що зображена на рис 1.1 (а) і 1.4 (а), яка тричі кінематично невизначувана, для усунення відмін у деформаціях вузлів надамо додатковим плаваючим в’язям (рис. 1.3, а, 1.4, б) невідомі кутові переміщення: , (кути повороту вузлів 1, 2), та – поступальне переміщення цих вузлів при зовнішньому навантаженні вихідної системи, і одержимо еквівалентну систему (рис. 1.4, в).

 

а) основна система; б) система з плаваючими в’язями; в) еквівалентна система

Рисунок 1.4 – Отримання еквівалентної системи для рами 1

 

Для рами, що зображена на рис. 1.2 (а), 1.3 (б), 1.4 (а), яка тричі кінематично невизначувана, еквівалентна система показана на рис. 1.5 (в). , – невідомі кутові переміщення вузлів 1, 2 та – поступальне переміщення цих вузлів.

а) основна система; б) система з плаваючими в’язями; в) еквівалентна система

Рисунок 1.5 – Отримання еквівалентної системи для рами 2

1.4 Розв’язувальні рівняння методу переміщень (канонічні рівняння)

Для складання розв’язувальних рівнянь методу переміщень використовуємо другу суперечність між вихідною розрахунковою схемою та її основною системою. Вона полягає в тому, що в додаткових в’язях основної системи від зовнішнього навантаження виникають реактивні сили в додаткових опорних стержнях, а в «плаваючих» затисненнях жорстких вузлів – реактивні моменти, тобто виникають реакції, яких немає у вихідній системі через відсутність цих додаткових в’язей.

Отже, необхідно скласти математичні умови рівності нулю відповідних реактивних сил у накладених додаткових в’язях у стані навантаження основної системи кутами повертання жорстких вузлів із «плаваючими» затисненнями, поступальними переміщеннями вузлів зі встановленим опорним стержнем у його напрямі та зовнішнім навантаженням.

Так, наприклад, для рами (рис. 1.4), яка тричі кінематично невизначувана, розглянемо окремі стани основної системи (рис. 1.6), у кожному з яких на неї діє один фактор (рис. 1.6).

а) стан 1; б) стан 2; в) стан 3; г) стан Р

Рисунок 1.6 – Окремі стани основної системи

 

У стані 1 (рис. 1.6, а) жорсткий вузол 1 повертається разом із «плаваючим» затисненням на кут, що дорівнює , у стані 2 (рис. 1.6, б) жорсткий вузол 2 з «плаваючим» затисненням повертається на кут , у стані 3 (рис. 1.6, в) вузли (1; 2) разом зі встановленим опорним стержнем (3) мають переміщення у його напрямі на величину , у вантажному стані Р (рис. 1.6, г) на основну систему діє зовнішнє навантаження.

У кожному стані в усіх додаткових в’язях виникають реактивні сили.

Вводимо для цих реактивних сил позначення – перший індекс відповідає номеру додаткової в’язі, де виникає ця реакція, тобто номеру невідомого переміщення цієї в’язі, другий індекс відповідає номеру стану, в якому виникає реакція. Наприклад – реактивний момент вузла 2 у стані 3.

На підставі принципу суперпозиції сумарний реактивний момент у першому (1) рухомому затисненні від усіх невідомих переміщень (, , ) і зовнішнього навантаження () дорівнює сумі відповідних реактивних моментів в усіх станах (рис. 1.6):

.

Сумарний реактивний момент у другому (2) затисненні від усіх невідомих переміщень (, , ) і зовнішнього навантаження () дорівнює сумі відповідних реактивних моментів у всіх станах:

.

Сумарна реакція в додатковому опорному стержні (третя додаткова в’язь) від усіх невідомих переміщень (, , ) і зовнішнього навантаження () дорівнює сумі реакцій в усіх станах:

.

Але у вихідній рамі ці додаткові в’язі відсутні. Тому для еквівалентності напружено-деформованого стану основної системи і вихідної схеми рами прирівняємо до нуля сумарні реактивні сили у додаткових в’язях:

; ; .

Реактивні сили у додаткових в’язях від невідомого переміщення, що дорівнює одиниці (; ; ), називають одиничними реактивними силами. Позначимо їх . Тоді має місце співвідношення:

.

Перепишемо сумарні реактивні сили в усіх станах, з урахуванням одиничних реактивних сил для розглянутої рами:

;

;

.

Ця сукупність залежностей є розв’язувальними рівняннями методу переміщень і називаються системою канонічних рівнянь методу переміщень.

Кількість отриманих рівнянь дорівнює кількості додаткових в’язей, тобто ступеню кінематичної невизначуваності системи, яка також дорівнює кількості основних невідомих методу переміщень (, , ).

Фізичний зміст кожного з цих рівнянь полягає в тому, що сумарна реактивна сила у відповідній додатковій в’язі основної системи від усіх невідомих переміщень та зовнішнього навантаження дорівнює нулю.

Система розв’язувальних рівнянь методу переміщень може бути записана в матричному вигляді як:

,

де − вектор основних невідомих переміщень;

− вектор вантажних реакцій;

− матриця одиничних коефіцієнтів системи розв’язувальних рівнянь:

.

Коефіцієнти , що розташовуються на головній діагоналі матриці коефіцієнтів системи рівнянь, називаються головними одиничними коефіцієнтами (реакціями). Їхні величини тільки додатні й не дорівнюють нулю.

Коефіцієнти називаються побічними одиничними коефіцієнтами (реакціями), можуть бути додатними, від’ємними й дорівнювати нулю. Згідно з теоремою про взаємність реакцій побічні коефіцієнти, які розташовані симетрично відносно головної діагоналі, дорівнюють один одному ().

Для визначення коефіцієнтів та вільних членів системи канонічних рівнянь необхідно мати епюри внутрішніх зусиль в основній системі методу переміщень в одиничних та вантажному станах.