Поверхности Безье.

Как и кривые, поверхности в компьютерной графике обычно задаются параметрически. (1) , где и - независимые параметры.

В матричной форме уравнение (1) записывается как

(2) , где – множество точек в пространстве, образующих поверхность.

Как и в случае кривых, диапазон изменения параметров зависит от выбранного способа параметризации. При нормальной параметризации, т.е. при которой значения и нормированы, точка с координатами (; ) принадлежит единичному квадрату.

Если зафиксировать некоторое значение параметра и изменять значение параметра , то получится линия в пространстве, описываемая уравнением и называемая v -линией. Таким образом, набор фиксированных значений u порождает семейство v -линий. Аналогично определяются u -линии. Построив некоторое количество u -линий и v -линий, получим сетку топологически ортогональных параметрических кривых, каждая из которых принадлежит исходной поверхности. Параметры u и v являются внутренними криволинейными координатами на поверхности Q.

Поверхность Безье степени NxM задается выражением

(8) , где , ,

Для определения такой поверхность Безье требуется задать (N+1)x(M+1) точек. Чаще всего используются бикубические поверхности Безье (N=3, M=3), задаваемые 16-ю точками. Границами такого бикубического сегмента поверхности Безье являются кубические кривые Безье.

Подобно тому, как промежуточные управляющие точки кубической кривой задают направления касательных на ее концах, векторы и коллинеарны касательным к границам поверхности в точке . Вектор коллинеарен вектору кручения .