Кусочное представление кривых кубическими сегментами. Идея метода. Достоинства и недостатки.

Известные из теории интерполяции многочлены Лагранжа отличаются наличием осцилляций и высокой степенью при большом количестве узлов (их степень, в общем случае, N-1, где N – число узлов). Высокая степень многочлена весьма нежелательна, так как она приводит к усложнению вычислений.

На практике часто используются сплайны, т.е. кривые, составленные из сегментов, описываемых параметрически заданными многочленами третьей степени (кубическими) вида (1) , где - независимый параметр

Часто используется нормальная параметризация, при которой значение нормировано и принадлежит отрезку . Используется также, например, естественная параметризация, при которой значение соответствует длине кривой от ее начала до точки . Параметрическое представление удобно тем, что оно позволяет избежать “математических осложнений”, связанных с представлением в виде , например, кривых с самопересечениями.Третья степень многочлена обеспечивает удовлетворительное выполнение условий адекватной “плавности и приемлемой вычислительной трудоемкости.

Рассмотрим, для начала, поведение одного кубического сегмента, заключенного между двумя соседними узлами интерполяции P_i(x_i, y_i) и P_i+1(x_i+1, y_i+1). Используя нормальную параметризацию, запишем условие, того, что сегмент кривой начинается в точке P_i(x_i, y_i) и заканчивается в точке P_i+1(x_i+1, y_i+1).

(2) ; ; ; ;

Очевидно, что для однозначного нахождения восьми неизвестных коэффициентов в уравнении (1) условий (2) недостаточно. Введем дополнительные условия, задав значения касательных векторов в начале и конце сегмента:

(3) ; ; ; ,

учитывая, что

(4) .

Итак, мы имеем 8 уравнений (2) и (3) и восемь неизвестных в (1). Решая систему уравнений, находим неизвестные коэффициенты в (1).