Методические указания. Для перекрытия нескольких пролетов могут использоваться простые балки (однопролетные с шарнирными опорами)

Для перекрытия нескольких пролетов могут использоваться простые балки (однопролетные с шарнирными опорами), неразрезные (статически неопределимые балки, имеющие непрерывное строение по всей своей длине с числом пролетов от двух и более) и многопролетные шарнирные балки.

Многопролетная шарнирная балка - геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из расположенных в определенной последовательности однопролетных консольных или только одних консольных балок, соединенных между собой шарнирами.

Преимущества шарнирных балок:

· Нагрузки, действующие на консоли балок, являющихся составными частями шарнирной балки, уменьшают величины максимальных изгибающих моментов в ее пролетах, поэтому шарнирные балки требуют меньшего расхода материала по сравнению с простыми балками;

· Неравномерное изменение температуры по высотешарнирных балок не вызывает в них дополнительных напряжений.

Недостатки шарнирных балок:

· Наличие шарниров усложняет изготовление и монтаж балок, обуславливает перелом упругой линии в местах установки шарниров, что при подвижной нагрузке вызывает толчки и удары;

· Обрушение одного пролета шарнирной балки может вызвать обрушение других;

· Устройство промежуточных шарниров требует дополнительных затрат.

Для того, чтобы рассчитать многопролетную неразрезную балку, необходимо её разрезать на отдельные части в тех местах, где изгибающие моменты равны нулю, и соединить разрезные части шарнирами.

Тогда многопролетная неразрезная статически неопределимая балка превратится в статически определимую. Каждый дополнительный промежуточный шарнир позволяет записать дополнительное управление статики - условие равенства нулю изгибающего момента в этом шарнире.

Для того, чтобы шарнирная многопролетная балка была статически определимой, число промежуточных поставленных шарниров (Ш) должно равняться степени статической неопределимости (Л).

Ш=Л=Н-3,

где: Н - количество неизвестных опорных реакций;

3 - количество уравнений равновесия статики.

При составлении схемы многопролетной шарнирной балки, имеющей геометрическую неизменяемость, статическую определимость, следует пользоваться правилами:

1. В каждом пролете можно устанавливать не более двух шарниров;

2. Пролеты с двумя шарнирами чередуются с пролетами без шарниров;

3. По одному шарниру может быть установлено в каждом пролёте, кроме одного.

Схема взаимодействия (поэтажная схема) – схема, обеспечивающая наглядность, характер взаимодействия и порядок расчета элементов, составляющих многопролетную шарнирную балку. Схема взаимодействия может состоять из подвесной балки, передаточной и основной.

Подвесной называют балку, шарнирно опирающуюся на концы консолей двух смежных с ней балок.

Передаточной называют такую балку, давление от которой передается частично через опору на основание, а частично на консоль смежной балки, поддерживающей передаточную.

Основной называют балку, которая передает давления от всех действующих на нее нагрузок через опоры на основание (землю).

Равномоментные балки - балки, у которых наибольшие изгибающие моменты в пролетах равны по абсолютному значению моментам на опорах.

Изгибающий момент М_х считается положительным, если в рассматриваемом сечении ось балки изгибается выпуклостью вниз (нижние волокна растянуты) и отрицательным если ось балки изгибается выпуклостью вверх.

Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон («+» под основной линией)

Поперечная сила в рассматриваемом сечении считается положительной, если её направление совпадает с вращением оставшейся части по ходу часовой стрелке. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от основной линии.

 

Пример. Определить внутренние силовые факторы, возникающие в шарнирной балке, построить эпюры Q и M, определить опасное сечение балки, подобрать размеры поперечного сечения, выполненного из стандартного прокатного профиля – двутавра, выполнить проверочный расчет. Исходные данные для своего варианта взять изтаблицы 5.
Решение

1. Вычертить схему с указанием размеров и нагрузки.

Дано:

F₁ = 40 Кн;

F₂ = 20 Кн;

F₃ = 30 Кн;

g=20 .

 

рис.26

 

1. Построить схему взаимодействия элементов

Построение схемы взаимодействия начинают с замены поставленных шарниров на фиктивные опоры и деления шарнирной балки на основные и второстепенные (передаточные или подвесные) элементы, что позволяет выяснить, как происходит передача силовых воздействий от одной балки к другой.

Данная балка состоит из двух основных балок (III и IV), подвесной балки I и передаточной II.

Римскими цифрами намечен порядок их расчета с учетом взаимодействия.

2. Аналитический расчет шарнирной балки (рис.26) начинают с расчета подвесных балок, так как на них действуют только непосредственно приложенные к ним нагрузки.

2.1. Расчет балки I (рис.27):

рис. 27

 

2.1.1 Определение опорных реакций.

В данном случае опорные реакции равны между собой:

R_C = R_D = = = 40 кН;

2.1.3 Построение эпюры поперечных сил.

Вычисляем для этого поперечные: силы в характерных сечениях:

Q_С = R_С = 40 кН; Q_D = Qc – q × 4 = 40 - 20´4 = - 4О кН;

2.1.4 Построение эпюры изгибающих моментов.

Для простой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, эпюра ограничивается квадратной параболой с максимальной ординатой по средине:

M_max=

2.2 Расчет балки П (рис.28)

рис. 28

 

2.2.1 Определение опорных реакций:

∑М_H = 0 - R_L×6 + F₃×4 + F₂×2 = 0, откуда:

кН.

∑M _L = R_H´6 - F₂´4 - F₃´2 = 0, откуда:

кН.

Проверка: ∑R_Y = R_H - F₂ - F₃ + R_L = 23,3 – 0 – 30 + 26,7 = 50 – 50 = 0, следовательно опорные реакции определены правильно.

2.2.2 Построение эпюр поперечных сил.

Характерные точки (точки приложения сосредоточенных сил) исследуются слева и справа. Поперечную силу необходимо определить в сечении чуть левее точки приложения силы (Q_лев) и в сечении чуть правее этой точки (Q_пр):

= = 23,3 кН; = = 3,3 кН

= = 23,3 кН; = - F₃= 3,3 – 30 = -26,7 кН;

= – F₂ = 23,3 - 20 = 3,3 Кн; = = - 26,7 кН.

2.2.3 Построение эпюр изгибающих моментов.

Изгибающие моменты в характерных сечениях:

М_Н = 0;

М_I = R_H´2 = 23,3´2 = 46,6 кНм;

М_K = R_L´2 = 26,7´2 = 53,4 кНм;

М_L = 0;

2.3. Расчёт балки ІІІ (с учётом давления на неё силы от балки І, в точке С равной и противоположно направленной опорной реакции Rс) (рис.29),

рис. 29

2.3.1 Определение опорных реакций:

ΣМ_А = 0 - R_В´5+R_С´7+q´7´3,5 = 0, откуда:

кН.

ΣМ_В = 0 - R_А´5 – q´7´1,5 + R_С´2 = 0, откуда:

кН.

Проверка: ΣF_у = R_А – q´7 + R_В – R_С = 26 - 20´7+154 – 40 = 0;

2.3.2 Построение эпюр поперечных сил.

Q_A= R_А = 26 кН.

= Q_A – q×5 = 26 – 20×5 = -74 кН;

= + R_B = - 74 + 154 = 80 кН;

Q_С = - q´2 = 80 - 20´2 = R_С = 40 кН.

Для определения величины максимального изгибающего момента на этом участке необходимо найти расстояние X₀ до сечения, в котором поперечная сила равна нулю.

Приравняем нулю поперечную силу в этом сечении:

Q_X0 = R_А - q´X0 = 0, находим X0 = 1,3 м.

Х₀ = 1,3 м.

2.3.3 Построение эпюр изгибающих моментов.

Изгибающие моменты в характерных точках сечения:

М_(А) = 0;

М_(В) = R_А´5 - q´5´ = 26´5 - 20´5´ = 130 – 250 = -120 кНм;

М_(С) = 0.

Изгибающий момент в произвольном сечение участка АВ на расстоянии X0 от точки А:

М_(Х0) = R_А´1,3´ = 26´1,3´0,65 = 16,9 кНм;

2.4 Расчёт балки IV с учётом давления на неё силы от балки І, в точке D равной и противоположно направленной опорной реакции R_D (рис.29), и давления силы в точке Н от балки ІІ, равной и противоположно направленной опорной реакции R_Н

рис. 30

 

2.4.1.Определение опорных реакций:

ΣМ_Е = 0 - R_D´2 + F₁´2,5 – R_G´5 + R_Н´7 = 0 откуда:

кН.

ΣF_у = 0 - R_D + R_E - F₁ + R_G – Rн = 0, следовательно

R_Е = R_D + F₁ - R_G + R_Н = 40 + 40 – 36,6 + 23,3 = 66,7 кН.

R_Е = 66,7 кН.

Проверка: ΣМ_G= - RD´7 + R_E´5 - F₁´2,5 + R_H´2=-40 ´7 + 66,7´5 - 40´2,5 + + 23,3´2 = - 280 + 333,5 – 100 + 46,6 = 0.

2.4.2.Построение эпюры поперечных сил

Q_D = - R_D - 40 кН;

= Q_D = - 40 кН;

= + R_E = - 40 + 66,7 = 26,7 кН;

= = 26,7 кН;

= - F₁ = 26,7 - 40 = - 13,3 кН;

= = - 13,3 кН;

= + R_С – 13,3 + 36,6 = 23,3 кН;

Q_H = = 23,3 кН;

 

2.4.3 Построение эпюры изгибающих моментов.

Изгибающие моменты в характерных сечениях:

 

М_D = 0 кНм;

М_E = - R_D´2 = - 40´2 = - 80 кНм;

М_F = - R_D´4,5 +R_E´2,5 = - 40´4,5 + 66,7´2,5 = - 13,3 кНм;

М_G = - R _H´2 = - 23,3´2 = - 46,6 кНм;

М_H = 0 кНм.

 

2.5 Построение общей эпюры поперечных сил для всей шарнирной балки. Эпюры Q, полученные для отдельных балок, располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе (см. рис. 1).

2.6. Построение общей эпюры изгибающих моментов для всей шарнирной балки. Эта эпюра (рис. 1) строится аналогично общей эпюре Q.

2.7. Определение М_мах = 120 кНм;

3. Определение момента сопротивления поперечного сечения W_x

W_x = 0,0005714 м³ = 571,4см³.

4. Подбор размеров поперечного сечения двутавра.

Используя таблицы сортамента, находим ближайшее большее или равное значение W_x, по нему определяем номер профиля

W_x = 597см³, № 33.

5. Проверочный расчет.

s = + = 201 ≤ 210 МПа

Задание для расчетно-графической работы №10. Для шарнирной балки построить поэтажную схему, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать поперечное сечение балки из двутавра. Исходные данные взять из табл. 5 и рисунка 31.

Таблица 5

 

№ Схемы	№ Варианта	F1, кН	F2, кН	F3, кН	q, кН/м
a
b
c
d
e
f

 

 

Схема	№ схемы
	a
	b
	c
	d
	e
	f

 

рис.31