Политропный процесс. Все рассмотренные выше термодинамические процессы являются частными случаями обобщенного политропного процесса.

Все рассмотренные выше термодинамические процессы являются частными случаями обобщенного политропного процесса.

Уравнение политропного процесса

(1.88а)

где n – постоянное число для рассматриваемого процесса и называется показателем политропы.

Количество политропных процессов бесконечно велико, и каждому процессу соответствует свое значение показателя политропы. В общем случае он может принимать значение в интервале – ∞ < n < + ∞.

При n →±∞ уравнение политропы будет выражать изохорный процесс. Для доказательства этого представим уравнение политропного процесса в виде

 

(1.88б)

 

извлечем корень n-й степени из обеих частей уравнения (1.88б) и получим

 

 

(1.88в)

 

При n →±∞, p→1, следовательно v1 = v2, то есть v = const

Если показателю n придать значение равное нулю (n = 0), то

и уравнение политропы превращается в уравнение изобарного процесса р = const.

При n = 1 уравнение политропы (1.88а) принимает вид уравнения изотермы рv = const, а если n = k, то уравнение

опишет кривую адиабаты.

Уравнение политропного процесса выводится на основе уравнений первого закона термодинамики dq = du + pdv и

dq = di – vdp, внутренней энергии u = cvT и энтальпии i = cpT

dq = cdT = cvdT + pdv = cpdT – vdp. (1.89)

Отсюда следует

(с – сv)dT = рdv и (с – ср)dT = – vdр.

Обозначим

 

Тогда Или

 

 

После интегрирования уравнения (1.90) при n = const получим

 

 

то есть уравнение политропного процесса будет иметь вид

 

 

Изменение внутренней энергии в любом процессе идеального газа определяется уравнением u2 – u1 = cv(T2 – T1).

Изменение энтальпии можно найти из уравнений

i = u + (p v) и i = cpT

i2 – i1 = (u2 – u1) + [(p2v2) – (p1v1)] = cp(T2 – T1). (1.93)

Теплоемкость политропного процесса вычисляется из уравнения

 

Тогда

 

 

Где -показатель адиабаты

 

Количество теплоты, подведенной (отведенной) в политропном процессе

dq = cdT, значит q = c(T2 – T1). (1.95)

Работу в процессе можно получить из определения работы

 

и уравнения политропного процесса

 

 

 

 

Получим

 

Бесконечное множество политропных процессов можно разделить на три группы (I, II, III) (рисунок 1.16).

Для первой группы (I) (при – ∞ < n < +1) характерно то, что в процессах расширения теплота расходуется на изменение внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил. В процессах сжатия, наоборот, теплота выделяется во внешнюю среду за счет уменьшения внутренней энергии и совершения работы сжатия внешними силами.

Процессы второй группы (II) (при + 1 < n < + k) отличаются тем, что работа расширения в них производится за счет внешней теплоты и за счет изменения внутренней энергии. В процессах сжатия затраченная работа частично переходит в эквивалентное количество теплоты, отводимой во внешнюю среду и на увеличение внутренней энергии.

В процессе третьей группы (III) (при κ < n < + ∞) при расширении внутренняя энергия расходуется на выполнение работы и теплоту, отводимую в окружающую среду, при сжатии – наоборот.

Для нахождения изменения энтропии в политропном процессе воспользуемся первым (dq = du + pdv) и вторым (ds = dq/T) законами термодинамики

 

(1.97)

 

 

Интегрируя уравнение (1.97), получим