Свойства линейно зависимых систем векторов

1. Система векторов, состоящая из двух или более векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.

2. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

3. Если система векторов линейно зависима, то система векторов линейно зависима для любых векторов .

4. Если система векторов линейно независима, то система векторов тоже линейно независима.

Линейная зависимость векторов имеет следующий геометрический смысл:

1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда ;

2. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны;

3. Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны;

4. Система из четырех векторов всегда линейно зависима.

Из геометрического смысла вытекает что:

а) два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только когда их координаты пропорциональны, т.е. (если у какой-то из дробей знаменатель равен нулю, то и ее числитель тоже должен быть равным нулю);

б) три вектора , , компланарны тогда и только когда .

 

Пример 5. параллелограмм. E –середина CD. Найти координаты вершин С и D, если координаты точек A, B, E известны: через векторы

Решение. Из свойств параллелограмма получаем:

Теперь, зная координаты точки E, находим координаты точек C и D: или

Пример 6. Даны точки Точки С, D, E, F делят отрезок на 5 равных частей. Найти их координаты. Пусть

Решение. Легко видеть, что

Из этих соотношений по формуле деления отрезка в заданном отношении последовательно находим:

 

Итак, С(5;6), D(8;13), E(11; 20), F(14, 27).

 

Пример 7. Даны точки Определить, лежат ли они в одной плоскости.

Решение. Точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны. А три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Найдем координаты этих векторов и проверим их на линейную независимость.

 

 

Требуется найти такие , что .

Распишем это равенство в координатах:

 

Исследуем систему уравнений при помощи теоремы Крамера.

Следовательно, эта система уравнений имеет единственное решение. Так как система является однородной, то это единственное решение Значит, векторы

линейно независимы и потому некомпланарны. Следовательно, точки не лежат в одной плоскости.