Выражение скалярного произведения в координатах

Пусть – ортонормированный базис, , - угол между и . Тогда справедливы следующие соотношения:

1.

2.

3.

В дальнейшем, если базис явно не указан, будем полагать, что мы пользуемся ортонормированным базисом, векторы которого будем обозначать .

Ортом ненулевого вектора называется вектор

Направляющими косинусами вектора называются – косинусы углов, которые образует вектор с векторами , соответственно. Направляющие косинусы любого вектора равны координатам его орта

Проекцией вектора на вектор (обозначается ) называется число , где - угол между векторами и .

Легко видеть, что если , то

Пример 8. Векторы и образуют угол , Найти .

Решение. Пользуясь свойствами скалярного произведения, раскрываем скобки и вычисляем каждое из слагаемых, пользуясь определением

 

Пример 9. Найти

а) работу силы при перемещении материальной точки из в ;

б) угол между векторами и ;

в) направляющие косинусы ;

г) проекцию вектора на .

Решение. а) Работа силы при перемещении материальной точки из в равна скалярному произведению . Находим сначала , а затем .

б)

в) Находим орт вектора :

Координаты орта являются направляющими косинусами вектора . Следовательно,

г) Проекция вектора на равна

Пример 10. Даны точки Убедиться, что ABCD является квадратом.

Решение. Найдем векторы сторон.

Длины всех сторон равны. Кроме того, векторы

коллинеарны, т.к. . Следовательно, ABCD является параллелограммом и ромбом (поскольку длины всех сторон равны). Осталось доказать, что ортогональны. А это следует из того, что