Задачи для самостоятельного решения. 1. Векторы и образуют угол , Найти:

1. Векторы и образуют угол , Найти:

.

2. Векторы и взаимно перпендикулярны; век­тор образует с

ними углы, равные . Зная, что ,

вычислить:

.

3. Доказать, что . В каких случаях здесь

может иметь место знак равенства?

4. Какому условию должны удовлетворять век­торы и , чтобы

вектор был ортогонален к вектору

5. Даны векторы и . Вычислить:

.

6. Вычислить, какую работу производит сила при перемещении материальной точки из в .

7. Вычислить, какую работу производит равнодействующая трех

сил при

перемещении материальной точки из в

.

8. Даны вершины четырехугольника A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), С (–4;

1; 1) и D(–5; –5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD

взаимно перпендикулярны.

9. Определить, при каком значении t векторы и взаимно перпендику­лярны.

10. Даны векторы и . Найти:

1)косинус угла между ними,

2) проекцию вектора на вектор

3) проекцию вектора на вектор ;

4) орт вектора ;

5) орт вектора ;

6) найти направляющие косинусы вектора ;

7) найти направляющие косинусы вектора ;

11. Даны вершины треугольника A(–1; –2; 4), B(–4; –2; 0) и

С(3; –2; 1). Определить его внутренний угол при вершине B.

12. Даны вершины треугольника A (3; 2; –3), B(5; 1; –1) и С(1;

–2; 1). Определить его внешний угол при вершине A.

13. Даны вершины треугольника A(1; 2; 1), В(3; –1; 7), С (7; 4;

–2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

14. Даны вершины четырехугольника A(11; 3; 3), B(12; –1; 3),

С(4; –3; 2) и D(3; 1; 2). Доказать, что ABCD является

прямоугольником, но не является квадратом.

15. Вектор , коллинеарный вектору ,

образует острый угол с осью OZ. Зная, что , найти

его координаты.

16. Вектор ,ортогональный векторам ,

, образует с осью OY тупой угол. Найти его

координаты, зная, что .

17. Найти вектор , зная, что он ортогонален векторам

, и удовле­творяет условию

, где .