Выражение векторного произведения в координатах

Пусть . Тогда

 

Пример 11. Векторы и образуют угол , Найти длину вектора .

Решение. Пользуясь свойствами векторного произведения, раскрываем скобки и вычисляем каждое из слагаемых, пользуясь определением, Осталось найти

 

Пример 12. Найти момент силы , приложенной в точке , относительно точки ;

Решение. Искомый момент равен векторному произведению Находим , а затем и

Пример 13. Даны векторы и . Найти вектор , который:

а) ортогонален и ;

б) образует с вектором острый угол;

в) имеет длину равную 2.

Решение. Векторы и неколлинеарны, поскольку . Следовательно, все векторы им ортогональные, коллинеарны друг другу. В частности, вектор ортогонален и и отличен от . Любой коллинеарный вектор может быть разложен по . То есть, вектор может быть представлен в виде , где - неизвестное число. Осталось найти его:

Знак определим из того, что и образуют острый угол, а это, значит, что

 

Пример 14. Даны точки Найти длину высоты треугольника , опущенной из вершины

Решение. В примере 10 уже установлено, что треугольник прямоугольный, - катет и, следовательно, искомая высота равна

Решим задачу иным способом. Пусть – площадь треугольника , а – высота, опущенная на сторону .

Тогда Заметим также, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна

, с одной стороны, и равна , с другой.

Найдем векторы сторон.

.

.

Вычислим длины векторов

Следовательно,