Линейные операции над векторами. Линейными операциями называются сложение векторов и умножение вектора на число.

Линейными операциями называются сложение векторов и умножение вектора на число.

Определение 3. Пусть даны два вектора и . Построим равные им векторы и (т. е, перенесем конец и начало в одну и ту же точку B). Тогда вектор называется суммой векторов и и обозначается + .

Сложением векторов называют операцию, сопоставляющую двум векторам их сумму.

Определение 4. Произведением вектора на вещественное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) ;

б) вектор коллинеарен вектору ;

в) векторы и направлены одинаково, если > 0, и противоположно, если < 0. (Если же = 0, то из первого условия следует, что = ) Произведение вектора на число обозначается .

Умножение вектора на число — операция, сопоставляющая вектору и числу произведение вектора на это число.

Свойства линейных операций

1) + = + для любых векторов , ;

2) ( + ) + = + ( + ) для любых векторов , , ;

3) + = для любого вектора ;

4) Для любого вектора существует единственный вектор , такой что ;

Вектор называется противоположным к и .

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного к , т. е. вектор + или коротко .

Базис

Два (три) вектора называются упорядоченной парой (тройкой) векторов, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым, а какой – третьим (в случае трех векторов).

Определение 5. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов на этой плоскости.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Пусть векторы, произвольные числа. Выражение

называется линейной комбинацией векторов .

Если вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , то говорят, что разложен по векторам . Чаще всего рассматривается разложение вектора по базису.

Определение 6. Если базис в пространстве и то числа называются компонентами (или координатами) вектора в данном базисе. Аналогично определяются компоненты вектора на плоскости и на прямой. Компоненты вектора пишут в скобках после буквенного обозначения вектора. Например, означает, что компоненты вектора в определенном, ранее выбранном базисе, равны 0,1 и 2. Применяется и такая запись

Замечание. Все формулы в дальнейшем приводятся для базиса в пространстве. В случае базиса на плоскости, следует считать в формулах третью компоненту всех векторов равной нулю или полагать, что она, как и третий вектор базиса, отсутствует.

 

Теорема 1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.

Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.

Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Следствие. Равные векторы имеют одинаковые компоненты.

 

Теорема 2. При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число.

При сложении векторов их соответствующие компоненты складываются.

Определение 7. Углом между ненулевыми векторами и называется наименьший из углов между векторами и , где , .

Таким образом, угол между векторами всегда лежит в диапазоне . Если угол между векторами равен , то говорят, что эти векторы ортогональны.

Определение 8. Базис называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны, а их длины равны 1.

 

Пример 1. квадрат, точки E,F,G,H лежат на сторонах AB, BC, CD, DA, соответственно, а О – точка пересечения диагоналей. Кроме того, Выразить векторы через векторы

Решение. Сразу заметим, что неколлинеарны, а потому образуют на плоскости базис. Значит, любой вектор плоскости может быть разложен по и координаты его определяются однозначно.

Из свойств квадрата и из определения операции умножения вектора на число получаем:

Осталось заметить, что:

Пример 2. параллелограмм. E –середина CD, векторы

1)Выразить векторы через векторы

2) Построить векторы

Решение. 1)Из свойств параллелограмма и из определения операции суммы векторов получаем:

2) В процессе решения пункта 1) мы построили векторы

Пример 3.

Решение. Пусть Тогда

По теореме косинусов

Складывая первое и третье равенства, находим:

Пример 4. Пусть . Разложите вектор по векторам , если это возможно.

Решение. Найдем координаты вектора

Требуется найти такие , что .

Распишем это равенство в координатах:

 

 

Решаем систему методом Крамера:

 

 

 

 

 

Таким образом,

и

.