Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 800

1. Вивчення додавання однаково спрямованих коливань. Нехай матеріальна точка бере участь у двох гармонічних коливаннях:

; . (1)

При додаванні цих коливань з різними частотами ω₁ та ω₂ виникають негармонічні коливання. Результуюче відхилення х у кожний момент часу дорівнює алгебраїчній сумі відхилень складових коливань.

У найпростішому випадку, коли початкові фази і ампулі-туди цих коливань A₁ = А₂ = А, маємо:

. (2)

Позначимо: ; .

Частота ω_сер називається середньою частотою, а ω_мод - частотою моду-ляції результуючого коливання:

А_мод(t) = 2Aсоs ω_мод t,

тобто вираз (2) з урахуванням позначень можна записати:

х = А_мод(t)sіп ω_сеp t.

Рис.1

Результуюче коливання можна розглядати як коливання, яке відбувається з кутовою частотою ω_сер та амплітудою А_мод(t), яка змінюється з часом за гармонічним законом.

Якщо додаються коливання з близькими частотами , то маємо ω_мод<<ω_сер і амплітуда А_мод(t) буде дуже повільно змінюватись протягом декількох коливань з частотою ω_сер. При додаванні таких двох коливань з близькими частотами виникають так звані биття, тобто коливання з частотою ω_сер та амплітудою А_мод, яка повільно змінюється від максимального значення 2А до нуля. При кожному перетворенні амплітуди А_мод в нуль, фаза стрибком змінюється на π. Періодом биття Т_б називається проміжок часу між двома послідовними моментами часу, при яких амплітуда А_мод перетворюється в нуль:

, (3)

де Т₁ та Т₂ - періоди коливань з частотами ω₁ та ω₂. Частотою биття називається величина:

. (4)

Період результуючого коливання:

.

Зміна за певним законом будь-якого з параметрів періодичних коливань (наприклад, амплітуди або частоти), яка здійснюється за час, значно більший, ніж період коливань, називається модуляцією коливань. Модуляція, яка зображена на рис.2, називається амплітудною модуляцією. Якщо А_мод(t) = const, а початкова фаза результуючого коливання φ(t) змінюється з часом:

,

то модуляція називається частотною.

Установка для спостереження биття складається з електронного осцилографа та двох звукових генераторів, сигнали від яких подаються на вертикально відхильні пластини осцилографа.

Частоти коливань, які додаються, повинні відрізнятися одна від одної на декілька герц. Тоді на екрані осцилографа буде спостерігатися стійка картина биття (див. рис.2).

2. Вимірювання частоти за методом фігур Ліссажу. Нехай точка одночасно виконує коливання вздовж осей координат ох та оу за законами:

, (5)

де А₁ та А₂,j та j₂ – відповідно амплітуди та початкові фази першого та другого коливань;

- циклічна частота.

Рис. 2

Виключивши з рівнянь (4) час t, одержимо рівняння траєкторії точки, яка бере участь одночасно в двох взаємоперпендикулярних коливаннях:

. (6)

Це - рівняння еліпса, характеристики якого визначаються величиною різниці фаз j₀₁ -j₀₂ . Якщо , де m = 0;±1;±2;..., тоді осі координат ох та оу збігаються з осями еліпса, а розміри його півосей рівні амплітудам А₁ та А₂ :

.

Якщо, крім цього, А₁ = А₂, тоді траєкторія точки є колом. Такий результуючий рух точки М називають циркулярно поляризованими коливаннями, чи коливаннями, які поляризовані по колу.

У тих випадках, коли (m = 0; ± 1; ± 2; ...), еліпс перетворюється у відрізок прямої:

.

Знак плюс відповідає парним значенням т, тобто додаванню синфазних коливань (рис.3), а знак мінус – непарним значенням т, тобто додаванню коливань, які відбуваються у протифазі (рис. 4). У цих випадках точка М здійснює лінійно поляризовані коливання. Вона гармонічно коливається з частотою коливань ω та амплітудою вздовж прямої лінії, яка утворює з віссю ох кут

.

Рис.3 Рис. 4

У випадку додавання взаємоперпендикулярних коливань з циклічними частотами pω та qω, де р та q - цілі числа, маємо:

; . (7)

Значення координат х та у точки, яка здійснює коливання, одночасно повторюється через однакові проміжки часу T₀, які дорівнюють загальному найменшому кратному та періодів коливань вздовж осей ох та оу. Тому траєкторією точки М буде замкнена крива, форма якої залежить від співвідношення амплітуд, фаз та початкових фаз коливань, що додаються. Такі замкнені траєкторії точки М, яка одночасно здійснює гармонічні коливання в двох взаємоперпендикулярних напрямках, називаються фігурами Ліссажу. Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, центр якого збігається з початком координат, а сторони паралельні осям координат ох та оу і розташовані по обидва боки від них на відстанях, відповідно рівних А₂ та А₁ .

Відношення частот pω та qω коливань, що додаються, дорівнює відношенню числа дотиків q відповідної їм фігури Ліссажу зі стороною прямокутника, паралельною осі оу і зі стороною, паралельною осі ох. Тобто має місце співвідношення:

. (8)

На рис. 5 зображено вигляд фігур Ліссажу при трьох різних значеннях відношення (2:1, 3:2, 4:3) та різниці початкових фаз .

Рис.5

Установка для визначення невідомої частоти складається з двох звукових генераторів та електронного осцилографа. Схема їх ввімкнення зображена на рис.6. На вхід X осцилографа подається синусоїдальна напруга частотою v_x. Від другого генератора, частоту якого треба визначити, подаються сигнали на вхід Y. Отримуючи чітку фігуру Ліссажу та використовуючи співвідношення (7), знаходимо невідому частоту.

Рис. 6