Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 686

Звукові хвилі в повітрі – це послідовність стиснень та розріджень повітря, що чергуються в часі і поширюються з певною швидкістю υ, яка залежить від пружних властивостей середовища. Відстань між двома сусідніми стисненнями чи розрідженнями називається довжиною хвилі λ. Звукові хвилі в повітрі є повздовжніми, оскільки газ не чинить опору деформаціям зсуву і коливання частинок можуть відбуватись лише в напрямку розповсюдження хвилі.

Рівняння плоскої біжучої хвилі, яка поширюється в додатному напрямку осі ох, має вигляд:

, (1)

де u₁ - зміщення коливної точки;

А - амплітуда, ω - циклічна частота;

– хвильове число.

Якщо на шляху хвилі (1) трапляється перешкода, хвиля відбивається від неї і утворюється зустрічна хвиля:

. (2)

Оскільки пряма і відбита хвилі є когерентними, вони інтерферують між собою, в результаті чого виникає стояча хвиля. Скориставшись тригонометричною рівністю

,

виходячи з рівнянь (1) і (2), знайдемо рівняння стоячої хвилі:

. (3)

Величина є амплітудою стоячої хвилі.

При виведенні рівності (3) ми припустили, що відбиття хвилі є повним. Розглянемо більш загальний випадок. Нехай маємо деяку трубу, в середині якої може переміщуватися поршень з пружною стінкою (рис.1). Збудимо коливання біля відкритого кінця труби, викликавши появу в ній хвилі (1). Дійшовши до поршня, хвиля відбиватиметься від його пружної стінки, породжуючи зустрічну хвилю. У випадку часткового відбиття амплітуда відбитої хвилі В < А; крім того, відбита хвиля зазнає стрибка фази коливань, що залежить від властивостей пружної стінки поршня. Отже, відбита хвиля буде описуватись рівнянням

, (4)

а рівняння результуючої хвилі матиме вигляд

. (5)

У рівностях (4) і (5) δ - початкова фаза відбитої хвилі, що залежить від довжини труби, а також від властивостей пружної стінки поршня. Розгорнувши косинуси за формулами

та згрупувавши відповідні члени, рівність (5) легко звести до вигляду

. (6)

Прирівнюючи отриманий результат (6) з формулою (3), робимо висновок, що хвиля, яка поширюється в трубі, є суперпозицією двох стоячих хвиль частоти ω з амплітудами, фази коливань яких в кожній точці зміщені на одна відносно одної.

(7)

Скористуємось методом векторних діаграм і виразимо амплітуду результуючої хвилі:

. (8)

Підставивши в рівність (8) значення и_ст.1 та u_сm2 з (7), знайдемо амплітуду хвилі на стінці поршня, тобто в точці х = l, де l - довжина труби:

. (9)

Отже, як видно з формули (9), при переміщенні поршня вздовж труби амплітуда хвилі на стінці поршня буде періодично змінюватись від найменшого до найбільшого її значення. Максимум амплітуди досягатиметься, коли частота збуджуваних коливань збігатиметься з однією з власних частот коливань повітря в трубі, тобто при настанні явища резонансу. Очевидно, в цьому випадку початкова фаза δ не залежатиме від довжини труби l, а визначатиметься лише властивостями пружної стінки поршня, тобто буде величиною сталою:

.

Максимуми амплітуди (9) виникатимуть при умові cos(2kl+δ₀) = 1 або 2kl+δ₀=2nπ, n = 1,2,3,..., звідки довжина труби при настанні резонансу дорівнюватиме

. (10)

Переміщення

. (11)

Виразивши λ через швидкість звуку буде дорівнювати

, (12)

де ν – частота генератора;

т – довільний резонансний стан (максимум);

l_т – відповідна довжина труби.

Очевидно, результат експерименту не зміниться при заміні максимумів амплітуди звукової хвилі мінімумами.