Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 690

1. Рівняння біжучої хвилі.

Розглянемо процес розповсюдження коливань, джерелом якого є точка О (рис.1), яка коливається за гармонічним законом

. (1)

Нехай коливання точки почалось в момент t = 0. Сусідні точки почнуть коливання з тією самою амплітудою та частотою ω, що і точка 0, але з деяким запізненням. Початок коливань точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела, запізниться від початку коливань точки 0 на час , де υ —швидкість хвилі в даному середовищі.

Якщо величина відхилення точки 0 від положення рівноваги в момент t дорівнює y(0, t ) = y₀ cos ωt, то внаслідок запізнення відхилення точки В в той же момент t буде таке, яке було відхилення точки 0 раніше на час τ, тобто,

(2)

Рівняння (2) називається рівнянням біжучої хвилі. Таким чином, з рівняння (2) виходить, що зміщення довільної точки залежить від двох змінних - відстані х від точки до джерела та часу спостереження t.

Відстань, на яку розповсюджуються коливання за один період, називається довжиною хвилі λ :

λ = υT, (3)

де Т - період коливань.

Рис. 1

Оскільки , то рівняння біжучої хвилі можна записати у вигляді:

. (4)

Якщо порівняти останній вираз з рівняння (1), то можна побачити, що коливання точки з координатою х зсунуті по фазі відносно коливань у точці 0 на .

Швидкість розповсюдження коливань можна подати у вигляді

, (5)

де – частота коливань.

2. Інтерференція хвиль. Поняття про когерентність.

Розглянемо додавання двох синусоїдальних хвиль одного періоду (частоти), які виникають в однорідному та ізотропному середовищі від точкових джерел S₁ та S₂, циклічні частоти гармонічних коливань яких дорівнюють ω₁ та ω₂, а початкові фази відповідно а₁ та a₂. Нехай коливання, які спричиняються ними в довільній точці М однаково направлені та задовольняють рівняння

Рис. 2

За принципом суперпозиції, результуюче коливання в точці М буде описуватись формулою

.

Для знаходження результуючих амплітуди А та фази φ скористаємося методом векторних діаграм (рис.3). З рисунка бачимо:

Оскільки де υ - фазова швидкість хвилі, то

(7)

З формули (6) бачимо, що при накладанні синусоїдальних хвиль, для яких , амплітуда А результуючого коливання в довільній точці середовища залежить від часу, тобто результуючі коливання будуть негармонічними.

Амплітуда А буде змінюватись в межах від |А₁ - А₂| до А₁ + А₂, та циклічна частота коливань амплітуди збігається з циклічною частотою зміни фаз і дорівнює .

Рис. 3

Якщо ця частота досить велика, то прилад реєстрації не буде встигати реагувати на зміни величини А і буде показувати лише деяке середнє значення.

Знайдемо середнє значення квадрата амплітуди за час, що дорівнює періоду τ її зміни:

Оскільки за час τ різниця φ₂ – φ₁ змінюється на 2π, то

та (8)

Таким чином, при накладанні так званих некогерентних синусоїдальних хвиль, для яких середнє значення квадрата амплітуди результуючої хвилі дорівнює сумі квадратів амплітуд вихідних хвиль.

Розглянемо тепер накладання когерентних хвиль.

Когерентними називаються хвилі, які характеризуються однаковою частотою ω та різниця фаз яких не залежить від часу. Тобто, якщо та враховуючи, що при цьому в однорідному ізотропному середовищі υ₁= υ₂= υ, отримуємо:

Тому формулу (6) можна переписати:

. (9)

Величина Δr = r₂ -r_1, називається геометричною різницею ходу хвиль (від їх джерел S₁ та S₂ до довільної точки М ).

Оскільки α₂ – α₁ = const та k = const, то бачимо, що різниця фаз φ₂ – φ₁ та амплітуда А не залежать від часу.

Амплітуда результуючого коливання максимальна (А = А₁ + А₂ ) в усіх точках М, для яких аргумент косинуса дорівнює парному числу п:

(10)

чи, замінивши k на , одержимо

.

Якщо = 0, то

.

Очевидно, що амплітуда результуючого коливання мінімальна (А=\А₁+ а₂ |) в усіх точках М, для яких

, (11)

або

Якщо , то умова мінімуму амплітуди запишеться так

При накладанні когерентних хвиль квадрат амплітуди та енергія результуючої хвилі відрізняються від суми відповідно квадратів амплітуд та енергій вихідних хвиль. Так, в усіх точках М, які задовольняють умову (10)

,

а в точках М, які задовольняють умову (11)

Явище накладання хвиль, при якому виникає стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору та послаблення в інших, в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль, називається інтерференцією.

Інтерферувати можуть тільки когерентні хвилі, якщо їм відповідають коливання, які проходять вздовж одного і того чи близьких напрямів.

Отже, якщо в різниці ходу когерентних хвиль вкладається парне число півхвиль, то в результаті їх накладання отримаємо максимальну амплітуду результуючого коливання, тобто в точці спостереження будемо спостерігати максимум інтерференції. Якщо ж в різниці ходу вкладається непарне число півхвиль, то отримаємо мінімальну амплітуду, тобто спостерігаємо мінімум інтерференції.

Розглянемо явище інтерференції на прикладі розповсюдження звукових хвиль від одного джерела Т вздовж труби К (рис.4).

Нехай довжина шляху вздовж труби 1 до довільної точки дорівнює х, а вздовж труби 2 - х + d.

Очевидно, правіше цієї точки обидві хвилі розповсюджуються з постійною різницею ходу, яка дорівнює d. Запишемо рівняння хвиль, які виходять з труб 1 та 2:

; (12)

Рис. 4

(13)

Якщо порівняти рівняння (12) та (13), можна побачити, що постійна різниця ходу d спричиняє постійну різницю фаз . Результуюче коливання в точці Р буде дорівнювати сумі коливань у ₁ та у ₂ :

(14)

Останнє рівняння описує біжучу хвилю, амплітуда якої дорівнює . Якщо = 0, то амплітуда коливань рівна нулю, оскільки хвилі повністю гасять одна одну (якщо амплітуда коливань y ₁ та у ₂ різні, то в таких випадках одержимо мінімум коливань). Очевидно, умова мінімумів має вигляд:

,

тобто

. (15)

Якщо = 1, то амплітуда коливань буде максимальна, тобто будемо спостерігати підсилення хвиль. Отже, умова максимумів має вигляд

,

тобто

. (16)

Таким чином, максимум інтерференції одержимо тоді, коли перша труба довша другої на парне число півхвиль.