Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 716

В електричних колах, до складу яких поряд з омічним опором входять реактивні елементи, а саме: конденсатори, котушки індуктивності можливе виникнення коливань сили струму, напруги. Ці коливання обумовлені тим, що в колі відбуваються періодичні перетворення енергії: енергія магнітного поля котушки індуктивності перетворюється в енергію електричного поля конденсатора і навпаки. Наявність активного опору приводить до необоротних втрат енергії на нагрівання провідників внаслідок чого коливання врешті решт затухають. Якщо в коло ввімкнути джерело змінної напруги, то поряд з власними будуть відбуватися також коливання, частота яких збігається з частотою зовнішньої ЕРС, тобто так звані вимушені коливання. Оскільки власні коливання згасають, а втрати енергії вимушених коливань компенсуються за рахунок зовнішнього джерела, то після згасання власних коливань в колі здійснюватимуться лише вимушені коливання, які можуть супроводитися резонансними явищами. Характер і особливості резонансу суттєво залежать від способу з'єднання реактивного і омічного опорів.

Рис. 1

В нерозгалуженому колі, яке зображене на рис.1, тобто при послідовному з'єднані котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і спостерігається резонанс напруг.

Нехай зовнішня напруга, яка і забезпечує вимушені коливання, змінюється за гармонічним законом з частотою ω і амплітудою u₀, тобто:

(1)

Оскільки частота коливань збігається з частотою зовнішньої періодичної сили, то для сили струму можемо записати:

, (2)

де І₀, φ – відповідно сила струму і зсув фаз між струмом і напругою в колі. Для знаходження І₀ і φ звернемось до закону Ома, за яким:

. (3)

Тут U_C, U_L – напруга між обкладинками конденсатора, спад напруги на активному опорі, а ε_і – електрорушійна сила самоіндукції.

Оскільки

, (4)

, (5)

, (6)

то підстановкою (4)…(6) в (3) одержуємо

. (7)

Зауваживши, що

(8)

та врахувавши залежність сили струму від часу (2) для зарядження обкладинок конденсатора, знаходимо:

. (9)

Вважаючи, що співвідношення (2) є розв’язком рівняння вимушених коливань (7) після підстановки (2) і (9) в (7) повинні отримати тотожність. Ця підстановка дає:

. (10)

Отже, підібравши І₀ і φ так, щоб рівність (10) виконувалась тотожно, ми переконаємось, що вимушені коливання в даному колі справді описуються рівнянням (2). Згідно з (10) ліва частина – сума гармонічних коливань з рівними частотами. А тому для складання коливань зручно використати діаграми. Враховуючи, що різниця фаз між першим і другим доданком складає , одержуємо, векторну діаграму (рис.2).

Рис. 2

Тут

, . (11)

Очевидно, що

, . (12)

Підстановкою (11) в (12) одержуємо:

, (13)

. (14)

Із співвідношення (13) випливає, що при зростанні частоти амплітуда сили струми спочатку зростає, проходить через максимум, після чого зменшується, прямуючи до нуля. Максимальне значення амплітуди досягається, якщо частота

. (15)

Зростання амплітуди сили струму в нерозгалуженому колі при частоті, яка визначається умовою (15) називається резонансом напруг.

З векторної діаграми (рис.2) бачимо, що при резонансі напруг tgφ=0 і u_0l=u_0c . В силу того, що напруги u_l і u_c змінюються в протилежних фазах, то спад напруги u_0l + u_0c на реактивних елементах схеми (рис.1) при резонансі дорівнює нулю. Застосовуючи закон Ома для ділянки, яка містить L і С, переконуємось, що виконання умови (15) забезпечує рівність нулю реактивного опору цієї ділянки. В цьому і полягає причина резонансу напруг. Легко переконатись, що при певних співвідношеннях між L, С і R, амплітуди u_0l і u_0c можуть перевищувати u₀. Саме з цією обставиною пов'язана як назва резонансу в послідовному з'єднанні L, С і R, так і обширна область застосування резонансу напруг в радіотехніці і електротехніці.

Якісно інший характер резонансу в колі з паралельним з'єднанням котушки індуктивності і конденсатора, яке зображене на рис.3.

Як і в попередньому випадку потрібно найти амплітуду сили струм і зсув фаз між струмом і напругою Перш за все зауважимо, що при паралельному з'єднанні U_L = U_C Врахувавши зв'язок між амплітудами напруг і струмів:

; , (16)

одержуємо співвідношення між амплітудними значеннями струмів:

. (17)

З рівності (17) випливає, що

. (18)

Застосуємо до вузла а перше правило Кірхгофа. При цьому приймемо до уваги, що струм через котушку індуктивності відстає, а струм через конденсатор випереджає напругу по фазі на . Внаслідок цього струми I_L і I_C змінюються в протилежних фазах. А тому

, (19)

де враховано співвідношення (18).

Рис. 3

Запишемо тепер для ділянки RаLb закон Ома

, (20)

Кожен з доданків у лівій частині (20) – гармонічне коливання частоти ω, а тому для їх додавання побудуємо відповідну діаграму (рис.4).

Тут U_0R=RI₀,

. (21)

де u_0r,,u_0l – амплітуди напруг на активному опорі і котушці індуктивності.

З векторної діаграми маємо:

. (22)

Рис. 4

Підстановка (21) в (22) після простих перетворень дає:

, (23)

. (24)

Очевидно, що при збігу частоти зовнішнього джерела з резонансною, яка визначається рівністю (15), відбувається різке зменшення сили струму I₀, причому згідно з (22) I₀ = 0. Із співвідношення (19) отримуємо, що амплітуди I_0C і I_0R при резонансі рівні між собою. Тому резонанс при паралельному з'єднанні L і С елементів називається резонансом струмів. Зменшення I₀ при резонансі струмів спричиняється тим, що на резонансній частоті реактивний опір кола досягає максимуму. Практичне використання резонансу струмів значною мірою обумовлене тим, що при певному співвідношенні між параметрами амплітудні значення I_L, І_C можуть набагато перевищувати I₀.