Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 732

Рівняння плоскої біжучої хвилі, що поширюється в довільному середовищі зі швидкістю в додатному напрямку осі, має вигляд

, (1)

де у - зміщення коливної точки з координатою х в момент часу t, A - амплітуда зміщення, ω - циклічна частота коливань.

Рівняння будь-якої хвилі є розв'язком диференціального рівняння, що називається хвильовим. Щоб знайти вигляд хвильового рівняння, зіставимо другі частинні похідні за координатою х та часом t від функції (1):

; . (2)

Прирівнюючи праві частини рівнянь (2), легко отримуємо шукане хвильове рівняння:

, (3)

яке описує хвилю, що поширюється в напрямку осі ох зі швидкістю υ.

Розглянемо тепер коливання гнучкої однорідної струни. Вважатимемо, що струна здійснює малі поперечні коливання, тобто рух її точок відбувається біля положення стійкої рівноваги. Виділимо елемент струни довжиною Δl, показаний на рис.1. Проекція на вісь оу сили натягу струни Т, що діє на елемент Δl в точці з координатою х, для малих кутів а може бути записана:

Рис. 1

, (4)

Аналогічно для точки струни з координатою х + Δх маємо:

. (5)

Сума проекцій (4) і (5) є тією силою, що приводить в рух елемент Δl
вздовж осі оу. При малих коливаннях Δy<<Δx (рис.1) і довжина елемента
струни Δx Δl, а його маса Δm=τ∙Δx, де τ - лінійна густина струни
За другим законом Ньютона

, (6)

де – прискорення елемента струни. Очевидно, вираз (6) можна переписати у вигляді

. (7)

Розділивши (7) на Δx, перейдемо до границі при :

. (8)

Повертаючись у (8) до явного вигляду відносної деформації струни остаточно матимемо:

. (9)

Рівність (9) є диференціальним рівнянням коливань струни. Прирівнюючи вирази (9) і (3), бачимо, що швидкість поширення хвилі в струні визначається формулою

. (10)

Як відомо, при додаванні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, що полягає у посиленні коливань в одних точках і послабленні ­– в інших, особливий випадок інтерференції спостерігається при накладанні двох зустрічних плоских хвиль з однаковою амплітудою. Коливальний процес, що виникає при цьому, називається стоячою хвилею. Розглянемо виникнення стоячих хвиль у натягнутій струні.

Нехай вздовж струни в додатному напрямку осі поширюється попе-речна хвиля (див. рис.1)

,

де - хвильове число. При відбитті даної хвилі від кінця струни утворюється зустрічна хвиля

,

що поширюється у від'ємному напрямку осі ох. Якщо відбиття повне, тобто амплітуди падаючої і відбитої хвиль однакові, від накладання таких хвиль утворюється стояча хвиля.

Скориставшись тригонометричною формулою додавання косинусів

,

отримаємо рівняння стоячої хвилі:

. (11)

Згідно з (11), кожна точка струни, що визначається координатою х, здійснює гармонічне коливання з циклічною частотою ω та амплітудою A_cm=|2Acos kx| .

Точки, яким відповідає нульова амплітуда, називаються вузлами.