Теоретичні відомості

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 704

Явище дифракції світла полягає у відхиленні світлових хвиль від прямолінійного напрямку при проходженні світла через малі отвори або біля малих перешкод. Дифракція світлових хвиль спостерігається, якщо розміри отворів або перешкод одного порядку з довжиною світлової хвилі, або якщо місце для спостереження дифракційної картини знаходиться на великій відстані від отвору або перешкоди.

Нехай паралельний пучок монохроматичного світла падає нормально на непрозорий екран, в якому є вузька щілина довжиною l і постійної ширини b, причому b << l (рис. 1). Згідно з принципом Гюйгенса-Френеля точки щілини є джерелами вторинних хвиль. Фази цих хвиль будуть однакові, оскільки площина щілин збігається з фронтом хвилі, що падає.

Оскільки закон прямолінійного поширення світла порушується, у фокальній площині збиральної лінзи буде спостерігатися розподіл інтенсивності дифрагованих променів. У побічному фокусі F_φ цієї лінзи зберуться всі промені, кут дифракції яких дорівнює φ. Оптична різниця ходу крайніх променів АМ і ВN, що йдуть від щілини в цьому напрямі, а різниця фаз цих коливань

(1)

Знайдемо амплітуду результуючого коливання, що йде від щілини в точку F_φ. Для цього подумки розділимо щілину на велике число дуже вузьких прямокутних зон і графічно складемо вектори амплітуд коливань від кожної з цих зон. Всі зони будуть випромінювати в заданому напрямі зовсім однаково.

Тому вектори амплітуд будуть мати однакові значення, а різниця фаз двох коливань від сусідніх зон буде постійною. У ньому випадку одержуємо ламану лінію, яка є частиною правильного багатокутника. При нескінченному зростанні числа зон ця ламана переходить в частину дуги кола (рис.2).

Рис. 1

З рис. 2 маємо:

(2)

де ВС ­– інтервал дуги.

При Δφ₀ = 0; А₀ = ВС, тому співвідношення (2) можна записати у такому вигляді:

. (3)

Рис. 2

Інтенсивність світлових хвиль можна визначити за формулою

. (4)

Функція f(∆φ₀) носить назву фактора розсіювання і характеризує вплив щілини на дифракцію світлових променів.

Мінімум буде спостерігатися в тому випадку, коли , але .

Тоді ;

;

або

. (5)

Максимуми будуть спостерігати там, де , а також при і при (центральний максимум).

Рис. 3

Тому

,

або

. (6)

Формула (6) визначає положення побічних максимумів. Схематичне зображення розподілу інтенсивності світла в дифракційній картині на щілині (функція f(∆φ ₀)) показано на рис. 3.

Розглянемо дифракцію на дифракційній решітці. Дифракційна решітка – це прозора пластинка, на якій за допомогою ділильної машини або фотографічним способом нанесені паралельно один одному штрихи і залишені вузькі непошкоджені смужки. Ті місця, де проведені штрихи, непрозорі і служать перешкодами для світлових хвиль.

Нехай ширина прозорої смужки а, а ширина штриха b. Величину d = а + b прийнято називати періодом решітки або постійною решітки (рис.4).

Рис.4

Знайдемо результуючу інтенсивність світлових хвиль в точці F_φ, в якій збираються промені від всіх щілин решітки, що падають на лінзу під кутом φ до її головної оптичної осі ОF₀ . Скористаємося для цього векторною діаграмою додавання амплітуд:

, (7)

де N - число щілин у решітці,

А_i - вектор амплітуди коливань, що викликаються у даній точці дією і -ї щілини.

У випадку оптичної однорідності середовища в одному і тому напрямі всі щілини випромінюють світло однаково.

Тому всі вектори А_і однакові за модулем . Зсув фаз Δφ₀ між векторами Δ визначається оптичною різницею ходу Δ від відповідних точок двох сусідніх щілин до точки F_φ. Тому

; (8)

Таким чином, виникла задача додавання N хвиль, що описуються рівнянням

(9)

Скористаємося графічним методом розрахунку. У результаті додавання векторів амплітуд , одержимо результат, показаний на рис. 5. Вершини цього багатокутника лежать на колі (переконатися в цьому самостійно). Знайдемо радіус кола. Нехай точка С є центром шуканого кола. Тоді OCB дорівнює різниці фаз ∆φ₀ .

Отже,

. (10)

Центральний кут α, на який опирається амплітуда А, дорівнює

α = .

З урахуванням цього кута амплітуда А буде дорівнювати:

. (11)

Поділимо співвідношення (11) на (10), одержимо:

, (12)

а з урахуванням співвідношень (8) одержимо остаточно:

. (13)

Проведемо дослідження одержаного виразу для амплітуди результуючих коливань.

Якщо , то .

Розкриваючи невизначеність за правилом Лопіталя, знайдемо

,

тобто

.

Таким чином, у цьому випадку спостерігається максимум дифракційної картини. Його називають максимумом нульового порядку (або нульовим).

Знайдемо умову головних максимумів дифракційної решітки:

(k = 0,1,2, … ) .

Звідси

(14)

формула (14) є умовою головних максимумів решітки.

Побічні мінімуми будуть спостерігатись, якщо А=0. Це можливо при умові, коли

або

Звідси одержуємо

або

– побічні мінімуми, (15)

де k приймає довільні цілі значення, крім 0; N; 2N; 3N ...

З формули (14) видно, що положення дифракційних максимумів залежить від довжини хвиль. Іншими словами, дифракційна решітка є спектральним приладом.

Основними оптичними характеристиками дифракційної решітки є її роздільна здатність та кутова дисперсія.

Рис. 5

Роздільна здатність дифракційної решітки визначається за формулою

(16)

де δλ - різниця довжин хвиль, дифракційні максимуми яких можна спостерігати роздільно;

N - загальна кількість штрихів решітки.

Кутова дисперсія решітки визначається за формулою

. (17)