Практичне заняття № 2

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 617

Дисперсійний аналіз у вирішенні інженерних задач

Тривалість – 2 години.

Мета заняття – придбати навики дисперсійного аналізу у вирішенні задач використання машинно-тракторного парку.

Як відомо, дисперсія і середньоквадратичне відхилення характеризують розмах коливання імовірнісної величини відносно середнього значення (математичного очікування). Варіація, тобто різниця між значеннями величин сукупності, залежить від багатьох причин, факторів. Але вплив окремих факторів на зміну величини тої чи іншої ознаки неоднаковий. Одні фактори впливають більше, інші менше. Їх поділяють на систематичні та імовірнісні.

Тому і варіацію розрізняють систематичну, яка залежить від постійних факторів і причин, і імовірнісну, обумовлену дією імовірних величин, які створюють варіювання всередині сукупності вибірки.

При великій кількості спостережень імовірнісні фактори взаємно гасяться і компенсують один одного. Але при невеликій кількості даних ця компенсація може бути неповною і тому результати дослідження в якійсь мірі будуть викривлені.

Дисперсійний аналіз і застосовується для оцінки впливу факторів при невеликій кількості спостережень. Знання основ цього методу – необхідна умова раціонального планування і статистичного обробітку дослідних даних.

Дисперсійний аналіз проводять по такій схемі:

- розчленування загальної дисперсії на складові її утворення;

- визначення числа ступіней вільності варіації і критерію Фішера;

- аналіз дисперсій.

Загальнадисперсія складається з міжгрупової і внутрішньо-групової

D = Dм + Dв (2.1)

Під час дисперсійного аналізу мають справу з вибірковими даними. Тому для визначення дисперсій необхідно розрахувати число ступіней вільності. Число ступіней вільності є число незалежних відхилень індивідуального значення ознаки від середнього без одиниці, тобто:

для загальної дисперсії

Кз = N – 1; (2.2)

для міжгрупової дисперсії

Км = m – 1; (2.3)

для внутрішньогрупової дисперсії

Кв = (N-1) – (m-1), (2.4)

де Кз, Км, Кв – число ступіней вільності, відповідно, для загальної, міжгрупової і внутрішньогрупової дисперсій; N – число спостережень (кількість вибіркових даних ); m – кількість груп (варіантів, дослідів).

Під час дисперсійного аналізу порівнюють міжгрупову і внутрішньогрупову дисперсії. Відношення міжгрупової і внутрішньогрупової дисперсій одержало назву критерію Фішера ( F – критерію ):

(2.5)

Англійський вчений Р.Фішер розробив спеціальні таблиці розподілу відношень дисперсій для двох вірогідностей 0,05 і 0,01. Якщо фактичне значення F_факт більше F_табл, то з заданою ступінню вірогідності можна стверджувати про наявність впливу фактору, який аналізується. Якщо F_факт менше або дорівнює F_табл, то різниця між дисперсіями обумовлена впливом інших імовірнісних факторів.

Розчленування загальної варіації на міжгрупову і внутрішньо-групову є підготовчою стадією дисперсійного аналізу, а її результати можуть бути оформлені таким чином.

Таблиця 2.1

Аналіз дисперсій

Джерело варіювання	Число ступіней вільності	Дисперсія
Загальна варіація Wз = Σ (Xi – Xср.з)²	Кз=N - 1
Міжгрупова варіація Wм = Σ (Xср.гр – Xср.з)²m	Км=m - 1
Внутрішньогрупова варіація Wв = Wз - Wм	Кв=(N-1)-(m-1)

В наведеній таблиці Хср.гр і Хср.з –означають, відповідно, середнє значення величини по групі ( середньогрупове) і середнє значення по всій виборці (загальне).

Задача

В таблиці 2.2 наведені дані по денному виробітку тракторів класу 14 кН за два роки. Дані згруповані по маркам тракторів і рокам. Оцінити за допомогою дисперсійного аналізу вплив марки трактора і року вибірки на денний виробіток.

В задачі підібрані марки тракторів, які мають приблизно однакову продуктивність і агрегатуються з однаковими сільськогосподарськими машинами. Крім того, в задачі наведено рік вибірки, а не строк служби. Тому без спеціального аналізу не видно впливу марки трактора і року вибірки на денний виробіток тракторів.

Таблиця 2.2

Денний виробіток тракторів

Для обчислення загальної, міжгрупової і внутрішньо-групової варіації необхідно скласти допоміжну таблицю, в яку слід занести середні, середньо-групові значення, квадрати та суму квадратів розрахункових величин. Розрахунки проводяться за формулами, наведеними в таблиці 2.1.

Обчислюємо загальну варіацію:

Wз = ΣΣ(Хi)² - Σ[(Σ Хi)²/N] = 811,32 – 809,61 = 1,71.

Обчислюємо групову (загально-факторну) варіацію:

Wгр = Σ[(Σ Хi)²/N] – (Σ Хi)²/N = 809,61 – (155,8)²/30 = 809,61 – 809,12 = 0,49.

Обчислюємо варіацію за рахунок неврахованих факторів:

Wн = Wз – Wгр = 1,71 – 0,49 = 1,22.

Таким чином, більша частина варіації денного виробітку 72,3 % (1,22:1,71) обумовлена дією неврахованих факторів (технічного стану машин, кваліфікації механізаторів і інших), а на долю факторів, що розглядаються, припадає всього 27,7% (тобто вплив року вибірки і наведених марок тракторів на денний виробіток незначний).

Для загальної варіації число ступіней вільності дорівнює 29 (30 – 1), для групової дисперсії – 5 ( число груп 6 мінус 1) і для неврахованої (остаточної) варіації – 24 (29 – 5).

Таблиця 2.3

Допоміжна таблиця для обчислення варіації по факторам

Найдемо дисперсії:

Dз = 1,71 : 29 = 0,059;

Dгр = 0,49 : 5 = 0,098;

Dн = 1,22 : 24 = 0,051.

Находимо фактичне значення критерію Фішера:

Fфакт = 0,098 : 0,051 = 1,92

По таблиці (див. додаток А) критерій Фішера для 5% рівня значущості Fтабл = 2,62. Таким чином, Fфакт = 1,92 < Fтабл = 2,62 і вплив обох факторів (марки трактора і року вибірки) на денний виробіток несуттєвий.

Визначимо вплив кожного фактора окремо.

Варіація, пов’язана з дією марки трактора (фактор а):

Wа = Σ(Σ Хi.а)²/Nа – (Σ Хi)²/N = 809,56 – 809,12 = 0,44

Варіація, пов’язана з дією року вибірки (фактор в) :

Wв = Σ(Σ Хi.в)²/Nв – (Σ Хi)²/N = 809,13 – 809,12 = 0,01

В даному випадку ми розглядаємо групування по двох факторах, і тому може бути додаткова варіація, обумовлена взаємодією цих двох факторів:

Wав = Wгр – Wа – Wв = 0,49 – 0,44 – 0,01 = 0,04

Доля впливу марки трактора буде 25,73%(0,44/1,71·100), року вибірки 0,58% і взаємодії обох факторів 2,34%.

Найдемо дисперсії і критерій Фішера.

Dа = 0,44/2=0,22 Fа = 0,22/0,051=4,31 Fтабл=3,40

Dв = 0,01/1=0,01 Fв = 0,01/0,051=0,196 Fтабл=4,26

Dав = 0,04/5 = 0,008 Fав = 0,008/0,051=0,157 Fтабл=2,62

Таким чином, на денний виробіток більше всього впливає марка трактора (Fа = 4,31), вплив інших факторів, що розглядались, несуттєвий і незначний.

Контрольні запитання

1. З якою метою використовується дисперсійний аналіз?

2. Дати визначення понять варіації, дисперсії, середньоквадратичного відхилення. Що вони характеризують?

3. Як обчислюються варіація, дисперсія, середньоквадратичне відхилення?

4. З якою метою застосовується критерій Фішера і як він визначається?

5. Як знайти табличне значення критерію Фішера?

Додаток А

Таблиця А1

Значення критерію Фішера для 5%-ного рівня значущості