Головна сторінка Випадкова сторінка
КАТЕГОРІЇ:
АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія
Практичне заняття № 7
Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 841
|
|
Побудова номограм для інженерних розрахунків
Тривалість – 4 години
Мета заняття – придбати навики побудови і користування номограмами при вирішенні інженерних задач.
Номографія – розділ математики, що вивчає способи графічного зображення функціональних залежностей: формул, рівнянь, систем рівнянь. Номограма – графік, що відображає залежність між трьома і більше величинами. Перевагами номограм є наочність і простота використання, що дуже важливо при масових розрахунках. Крім масових розрахунків номограми можуть використовуватись для графічного обробітку дослідних даних. Є різні типи номограм: номограми зі спряженими шкалами, сітчасті номограми, номограми із вирівняних точок, циркульні, номограми з логарифмічними шкалами і т.д. Для побудови найбільш складної номограми потрібно не більше 1,5-2 годин.
Всі існуючі номограми складаються з шкал і сімейств ліній,які іноді можуть створювати бінарні поля.Прикладом шкал можуть служити шкали логарифмічної лінійки, а прикладом бінарного поля – сітка на географічних картах з паралелей і меридіанів.
Користування будь-якою номограмою заключається в наступному. На шкалах, у бінарних полях чи в сімействах ліній знаходять точки чи лінії, які відповідають заданим значенням змінних. Потім згідно з схемою використання (ключем номограми) виконують якісь нескладні геометричні операції (накладення лінійки, засічки циркулем і т.п.). В результаті знаходять одну або декілька відповідних точок на шкалах, в сімействах ліній чи в бінарних полях.
Масштаб шкали визначається довжиною відрізку, що відповідає одиниці виміру змінної, і називається модулем шкали:
, (7.1)
де λ – модуль шкали; l – довжина шкали; 
- відповідно, кінцеве і початкове значення змінної.
Порядок побудови номограм із спряженими шкалами
Якщо є декілька рівнянь: y = f(x), z = φ(x), u = ψ(x) і т.д., і при цьому функція є монотонною (тобто такою, яка безперервно зростає або безперервно зменшується), то може бути побудована загальна номограма, яка складається із декількох спряжених шкал. В залежності від виду рівнянь шкали можуть бути як рівномірні так і нерівномірні.
Розглянемо порядок побудови номограми на прикладі функції з однією змінною у = 2х + 5 при зміні х від 0 до 10.
1. Спочатку побудуємо рівномірну шкалу змінної х. Рівняння цієї шкали буде:
z = 
x, (7.2)
де 
= модуль шкали х в мм.
2. Знаходимо граничні значення z при 
і 
.
Маємо: 
і 
Таким чином, довжина шкали х буде 
.
3. Потім будуємо шкалу змінної у. Рівняння шкали змінної у таке: 
де 
- модуль шкали у.
1. Знаходимо граничні значення 
при і .
Маємо: 
і 
Таким чином, довжина шкали у
5. Якщо 
, то 
або 
.
Це означає, що модуль шкали х вдвічі більший модуля шкали у.
Рис.7.1. Номограма із спряжених рівномірних шкал рівняння у=2х +5
Задача 1(для самостійної роботи).
Побудувати номограму зі спряженими шкалами для перерахунку градусів Цельсія (в межах від 0 до 100˚) в градуси Реомюра і Фаренгейта, якщо зв‘язок між ними визначається такими рівняннями: ˚Р = 0,8˚С ; ˚Ф = 32 + 1,8˚С.
Побудова номограм для функцій з двома змінними типу z = f(x,y) може бути зведена до побудови номограми функції з однією змінною при зафіксованому значенні другої змінної, яка при цьому стає параметром функції. В більшості випадків параметром функції приймають ту змінну, яка має менше дискретних значень або змінюється в меншому діапазоні. Іноді за параметр приймають ту із змінних, виключення котрої дає на графіку сімейство прямих ліній, що значно спрощує побудову номограми. В цьому випадку доцільно будувати шкалу і для цієї змінної. На рис.7.2 побудована номограма функції z = 0,25 xy, якщо х і у змінюються в межах 0…10. За параметр приймемо у. Підставивши в задане рівняння цілі значення у від 1 до 10 одержимо 10 функцій з однією змінною, які і будуємо в прямокутній системі координат, прийнявши за абсцису вісь змінної х, а за ординату вісь змінної z.
Модулі шкал розраховуємо за наведеною вище методикою.
Введення додаткової шкали у спрощує розрахунки з проміжними значеннями і зменшує похибку розрахунків. Для функцій з двома змінними, які можуть бути подані у вигляді z = f(x) φ(y), номограму зручно будувати у двох спряжених квадрантах. В цьому разі рівняння розбивають на два з введенням додаткової змінної t і тоді одержимо:
t = f (x); (7.3)
z = t φ(y) (7.4)
Рис.7.2. Номограма функції z=0,25хy
Спочатку будуємо рівняння (7.3), для чого на одній вісі координат розміщуємо шкалу для змінної х, а на другій вісі – шкалу допоміжної змінної t. Потім в другій системі координат (іншому квадранті) будуємо рівняння (7.4) прийнявши у за параметр. При цьому одна шкала t є спільною для обох квадрантів, а по другій вісі будуємо шкалу для розрахункової змінної z. Якщо вісь допоміжної змінної розміщена вертикально, то таке спряження називається горизонтальним, а якщо вісь допоміжної змінної горизонтальна, то спряження буде вертикальним.
На рис. 1.3 побудована номограма функції z=0,2 x² 
для 0 ≤ х ≤ 8і0 ≤ у ≤ 16. В даному випадку шкала допоміжної змінної t розміщена вертикально і тому спряження горизонтальне.
Рис.7.3. Номограма функції z = 0,2 x² у двох спряжених квадрантах.
Аналогічно будується номограма для функцій з більшою кількістю незалежних змінних. Наприклад, функція виду v = f(x)∙φ(y)∙ψ(z) може бути побудована в трьох спряжених квад рантах. Для цього вводять допоміжні змінні t = f(x), s = t∙φ(y), v = s∙ψ(z). Тоді шкала змінної t буде спільною для першого і другого квадрантів, а шкала s – для другого і третього.
Основним недоліком рівномірних шкал є різна відносна похибка по всій її довжині. Тому, якщо границі однієї змінної значно більші границь другої, або потрібна однакова точність результатів, застосовують логарифмічнішкали. Найбільш поширені логарифмічні номограми з сорокап’ятиградусним ходом.
Практичні рекомендації по побудові логарифмічних номограм з
сорокап’ятиградусним ходом
1. Встановити порядок нумерації шкал змінних, дотримуючись лише однієї умови – змінна шкали №1 повинна мати додатній показник і бути вертикальною. Наступні номери відповідають пос-лідовності знаходження змінних.
2. Вибрати основний модуль номограми. Звичайно він дорівнює модулю шкали змінної, що шукається.
3. Знайти модулі всіх інших змінних як добуток основного модуля на показник ступеня змінної.
4. Визначити напрямки зростання горизонтальних шкал, керуючись такими правилами. Якщо порядковий номер шкали парний, а знакпоказника степеня змінноїдодатній, то напрямок шкали справа – наліво. При від’ємному знаку – напрямок шкали зліва – направо. Коли номер шкали непарний, то все робиться навпаки.
Рис.7.4. Схема побудови номограми функції у = хz 
5. Початок всіх шкал, за винятком шкали змінної, що шукається, вибирають довільно.
6. Для визначення положення однієї позначки шкали, від якої будується вся шкала змінної, що шукається, необхідно по заданій формулі розрахувати один числовий приклад і побудувати його на номограмі.
Для перевірки правильності побудови номограми слід розв’язати один-два числових приклади.
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Практичне заняття № 6 | | | Задача 2. |