Практичне заняття № 9

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1001

Застосування теорії масового обслуговування для вирішення задач машиновикористання в землеробстві

Тривалість – 4 години

Мета роботи – оволодіти методами теорії масового обслуговування при розв’язанні задач машиновикористання в землеробстві.

У повсякденному житті людина постійно зустрічається з прикладами теорії масового обслуговування. Придбання товару в крамниці, розмова по телефону з потрібним абонентом, рух громадського транспорту, медичне обслуговування – все це приклади масового обслуговування. В сільському господарстві до систем масового обслуговування можна віднести роботу ремонтних майстерень, пунктів технічного обслуговування, паливно-заправних постів, комплексів на збиранні урожаю різних с.-г. культур і таке інше.

Система масового обслуговування (СМО)і призначена для обслуговування тих чи інших замовлень, що надходять у випадкові моменти часу, причому тривалість замовлення має також випадковий характер. Таким чином, ми маємо справу з невизначеностю умов, що пов’язана з кількістю замовлень за певний проміжок часу.

Потоком вимог (вхідним потоком) називається кількість замовлень, що надходить в обслуговуючу систему.

Вивчення потоку вимог (кількість замовлень за певний період, нерівномірність надходження замовлень, тривалість виконання замовлення, довжина черги) – одне з основних завдань при застосу-ванні методів теорії масового обслуговування.

Процес роботи СМО характеризується станами, які стрибкоподібно у випадкові моменти часу змінюються (надходження замовлення на обслуговування, закінчення обслуговування, вихід з черги). За допомогою теорії масового обслуговування визначають ймовірність різних станів а також показники функціональної ефективності роботи СМО.

Залежно від поставленої мети показниками функціональної ефективності СМО можуть бути пропускна здатність, середнє число зайнятих каналів, середнє число замовлень у черзі, середній час очікування обслуговування, середній час перебування замовлення у системі.

Основними характеристиками СМО є інтенсивність потоку вимог і інтенсивність обслуговування.Інтенсивністю потоку вимог (λ) називається число замовлень (N), що надходять за одиницю часу (t):

(9.1)

Інтенсивністю обслуговування (μ) називається величина, обернена часу обслуговування (Tобсл):

µ = . (9.2)

Важливим параметром СМО є відношення інтенсивності потоку вимог до інтенсивності обслуговування – середнє число замовлень, що надходить за час одного обслуговування (α):

= . (9.3)

За числом каналів обслуговування СМО може бути одноканальною або багатоканальною. Можлива також різна стратегія обслуговування: з відмовами, з чергою (обмеженою чи необмеженою), з пріоритетами.

Для одноканальної СМО з необмеженою чергою і найпростішим потоком замовлень система може знаходитись в наступних станах:

- СМО не зайнята;

- канал зайнятий, черга відсутня;

- канал зайнятий і одне замовлення в черзі;

- ………………………

- канал зайнятий і к-1 замовлень в черзі.

Граничні ймовірності станів СМО існують при α < 1 і виражаються формулами:

r₀ = 1-a; (9.4)

r_к = a^к (1-a), (9.5)

де к = 0,1,2,… кількість замовлень у СМО.

Середнє число замовлень у СМО ( ті, що обслуговуються і знаходяться у черзі):

= a/(1-a); (9.6)

Середнє число замовлень у черзі:

= a²/(1-a); (9.7)

Середній час перебування замовлення у СМО:

= a/[l(1-a)]; (9.8)

Середній час перебування замовлення у черзі:

= a²/[l(1-a)]. (9.9)

Розглянемо задачу одноканальну СМО на прикладі роботи пункту технічного обслуговування тракторної бригади.

Задача 1.

Перевірити потужність пункту для технічного обслуговування тракторів (завантаження ПТО) і визначити ймовірність станів системи та показники функціональної ефективності за таких умов. СПТО збудований за типовим проектом ТП 816-101 і розрахований на обслуговування 20 тракторів і 171 сільськогосподарської машини. У тракторній бригаді налічується 20 тракторів. Середня тривалість одного обслуговування 2,5 години. Тривалість часу зміни 7 годин. Періодичність технічного обслуговування 125 годин.

Порядок вирішення задачі.

За наведеними вище формулами підраховуємо:

- інтенсивність потоку вимог ( за 125 годин кожен трактор повинен пройти одне технічне обслуговування)

λ = = 0,16 трактора за годину;

- інтенсивність обслуговування (пропускну здатність ПТО)

μ = = 0,4 технічного обслуговування трактора за годину;

- середнє число замовлень, що надходить за час одного технічного обслуговування

α = = 0,4 машини за 2,5 години.

Визначимо показники функціональної ефективності СМО.

Середнє число замовлень (кількість тракторів, що обслуговуються та стоять у черзі)

z = = 0,67 трактора на годину

Імовірність того, що система не зайнята (ПТО вільний)

Таким чином, ймовірно ПТО зайнятий безпосередньо технічним обслуговуванням 40% часу, а 60% часу простоює в очікуванні тракторів.

Середнє число тракторів, що стоять у черзі

r = = 0,27 трактора на годину

Середній час перебування трактора на ПТО (час перебування замовлення у системі)

= = 4,17 години

Середній час перебування трактора у черзі (очікування технічного обслуговування)

= = 1,67 години

Висновок.

Пункт технічного обслуговування начебто недовантажений (ймовірність того, що ПТО вільний, дорівнює 0,6), але в середньому кожний четвертий трактор (27%) простоює в чеканні обслуговування. При цьому середній час простою одного трактора в черзі становить 1,67 години. Це пояснюється нерівномірністю надходження тракторів на технічне обслуговування, тобто імовірнісним характером надходження замовлень.

Для багатоканальної системи масового обслуговування (канали працюють паралельно і незалежно один від одного) найбільш важливими станами є:

- СМО не зайнята;

- зайнято к каналів (1 ≤ к ≤ n);

- зайняті всі n каналів;

- зайняті n каналів і r замовлень знаходяться у черзі.

Для таких систем при необмеженій черзі характеристиками є інтенсивність вимог λ, інтенсивність обслуговування μ, середнє число замовлень за час одного обслуговування α, а також параметр χ = . Граничні ймовірності станів системи існують при χ < 1 і визначаються за такими формулами:

r₀ = ; (9.10)

при 1£ к £ n; (9.11)

r_n+r = при r ³ 1. (9.12)

Характеристики ефективності багатоканальної СМО з необмеженою чергою визначаються за такими формулами:

Середнє число замовлень у СМО:

= +a; (9.13)

Середнє число замовлень у черзі:

= ; (9.14)

Середній час перебування у СМО:

= /l; (9.15)

Середній час очікування у черзі:

= /l. (9.16)

Розглянемо багатоканальну систему обслуговування групи комбайнів групою автомобілів.