Практичне заняття № 8

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 631

Оптимізація задач машиновикористання

в землеробстві методами лінійного програмування

Тривалість – 4 години

Мета заняття –закріпити теоретичні знання, придбати практичні навики у формулюванні задач оптимізації, підготовці вихідних даних і вирішенні задач на ПЕОМ.

Серед методів багатомірної оптимізації з обмеженнями найбільш поширене лінійне програмування. Слово “лінійне” означає, що задачі вирішуються на основі системи лінійних рівнянь, тобто рівнянь, які мають невідомі в першому ступені. Програмування означає, що ці методи в більшості застосовуються для планування. Зрозуміло, що реальні процеси не завжди відповідають лінійній моделі. Для врахування нелінійності і нестабільності умов існують методи нелінійного, параметричного, стохастичного, цілочисельного і динамічного програмування.

Головною ідеєю лінійного програмування є знаходження оптимуму в певних визначених умовах. Розподіл техніки по полям, автомобілів по маршрутам, оптимізація структури посівних площ, потужностей, виробничих запасів пального, запасних частин, розміщення виробничих об’єктів, складання раціонів, розподіл ресурсів – ось далеко не повний перелік задач, які можуть вирішуватись методами лінійного програмування.

Рішення інженерної задачі методами лінійного програмування повинно здійснюватись за такою методикою.

1. Вивчення виробничої ситуації, виявлення всіх суттєвих елементів процесу, що вивчається, встановлення максимальної кількості якісних і кількісних характеристик цього процесу і формулювання задачі.

2. Вибір і обґрунтування критерію оптимізації, вибір незалежних змінних, вимог і умов, які будуть обмеженнями при вирішенні задачі (встановлення меж оптимізації).

3. Підготовка необхідної достовірної нормативно-технічної інформації для розробки техніко-економічних коефіцієнтів для незалежних змінних.

4. Формалізація задачі, розробка математичної моделі процесу і вибір методу вирішення.

5. Розрахунки, визначення оптимуму, аналіз отриманих результатів і прийняття рішення.

В стандартній формі математична модель задачі, що вирішується загальними методами лінійного програмування включає:

1. Цільову функцію (лінійне рівняння змінних), яка підлягає оптимізації:

Z = ∑СiХі → екстремум, (8.1)

де Сі – числові коефіцієнти при змінних Хі.

Цільовою функцією (критерієм оптимізації) можуть бути максимум виробництва продукції максимум валового доходу, максимум чистого доходу, максимум прибутку, максимум продуктивності, максимум грошових надходжень, мінімум виробничих, експлуатаційних чи приведених затрат, мінімум капіталовкладень, мінімум затрат праці і т.д.

2. Функціональні обмеження змінних,які представляють собою систему рівнянь і нерівностей, що формують умови задачі:

∑АіХі = Dі (і = 1,2,…,k); (8.2)

∑ВіХі ≤ Qi (i = 1,2,…,l); (8.3)

∑SiXi ≥ Pi (i = 1,2,…,m), (8.4)

де Аі, Ві, Sі – нормативні коефіцієнти при змінних; Di, Qi, Pi – обмеження на ресурси.

3. Обмеження невід’ємності всіх змінних, які включені в систему:

Хі ≥ 0 (8.5)

Задачі лінійного програмування можуть вирішуватись графічним методом, розподільчим, методом рішаючих множників і найбільш універсальним – симплекснимметодом.

Графічний метод – найбільш простий і наглядний метод лінійного програмування. Він використовується для вирішення нескладних задач, коли результат залежить від двох змінних.

Задача вирішується в такій послідовності:

- на графіку в декартових координатах відображають прямі, що представляють собою рівняння обмежень;

- в точках перетину прямих підраховують значення функції і вибирають оптимум.

Площа, обмежена прямими і координатними осями, буде областю допустимих рішень (ОДР) задачі.

Оптимальне рішення можна знайти і без розрахунків, побудувавши рівняння цільової функції з довільним членом. Проводячи плоскопаралельне переміщення цієї прямої в напрямку ОДР знаходять точку чи лінію на її межі, що відповідає екстремуму цільової функції.

Враховуючи широке застосування електронно-обчислювальної техніки можна застосовувати загальні методи вирішення задач лінійного програмування. Варто лише чітко поставити задачу і привести її до стандартної форми.

Основні вимоги до стандартної форми математичної моделі задачі лінійного програмування такі:

- всі обмеження записуються у формі рівнянь з додатною правою частиною;

- значення всіх змінних моделі повинні бути додатними;

- цільову функцію потрібно максимізувати або мінімізувати.

Якщо сформульована математична модель не відповідає стандартній, то її необхідно привести до стандартної форми (введенням додаткової змінної, перемноженням лівої і правої частини рівняння на мінус 1). Слід нагадати, що множення на –1 змінює знак функції ( ≤ на ≥, максимум на мінімум).