МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

 

При моделировании системы S методом имитационного моделирования, в частности методом статистического моделирования на ЭВМ, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы из перечисленных сводится к генерации и преоб­разованию последовательностей случайных чисел.

Моделирование случайных событий. Пусть имеются случайные числа x_i т. е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределенной в интервале (О, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i, случайной величины x удовлет­воряет неравенству . (1)

Тогда вероятность события А будет Тогда .

Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе значений x_i, и сравнении их с р. При этом, если условие (1) выполняется, исходом испытания является событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть A₁, A₂, …, A_s — полная группа событий, наступающих с вероят­ностями p₁, p₂, …, p_s, соответственно. Определим А_m как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i случайной величины x удовлетворяет неравенству

, (2) где .Тогда .

Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательном сравнении случайных чисел x_i, со значениями l_r. Исходом испытания оказывается событие А_m, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p₁, p₂, …, p_s.

Эти процедуры моделирования были рассмотрены в предполо­жении, что для испытаний применяются случайные числа x_i, имеющие равномерное распределение в интервале (О, 1). При моделировании на ЭВМ используются псевдослучайные числа с квазиравномерным распределением, что приводит к некоторой ошибке.

Моделирование непрерывных случайных величин. Рассмотрим особенности генерации на ЭВМ непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина h задана интегральной функцией распределения

где — плотность вероятностей.

можно воспользоваться методом обратной функции. Взаимно однозначна монотонная функция , полученная решением относительно h уравнения , преобразует равномерно распределенную на интервале (О, 1) величину x в h с требуемой плотностью .

Действительно, если случайная величина h имеет плотность рас­пределения , то распределение случайной величины

является равномерным в интервале (О, 1). Чтобы получить число, принад­лежащее последовательности случайных чисел {у_j}, имеющих функ­цию плотности f_n (у), необходимо разрешить относительно y_j урав­нение

. (7)

Моделирование случайных векторов. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения. Рассмотрим дискретный случайный процесс, когда двухмерная случайная величина (x, h) является дискретной и ее составляющая принимает возможные значения x₁, x₂, …, x_n, а составляющая h — значения y₁, y₂, …, y_n, причем каждой паре (x_i, y_j) соответствует вероятность р_ij. Тогда каждому возможному значению x_i случайной величины x будет соответствовать.

Тогда в соответствии с этим распределением вероятностей мож­но определить конкретное значение x_i случайной величины x (по правилам, рассмотренным ранее) и из всех значений p_ij выбрать последовательность

(8) которая описывает условное распределение величины h при усло­вии, что x = x_i. Затем определяем конкретное значение случайной величины h в соответствии с распределением вероятностей. Полученная пара будет первой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее определяем возможные значения , выбираем последова­тельность

(9)

и находим в соответствии с распределением (9). Это дает реализацию вектора и т. д.

Рассмотрим моделирование непрерывного случайного вектора с составляющими x и h. В этом случае двухмерная случайная величина (x, h) описывается совместной функцией плотности f(х, у). Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной величины как

Имея функцию плотности , можно найти случайное число х_i, а затем при условии, что x = х_i, определить условное распределение случайной величины h:

В соответствии с этой функцией плотности можно определить случайное число у_i. Тогда пара чисел (x_i, y_i) будет являться искомой реализацией вектора (x, h).

Рассмотренный способ формирования реализаций двухмерных векторов можно обобщить и на случай многомерных случайных векторов. Однако при больших размерностях этих векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.