Логические операции

Пусть A, В - произвольные высказывания, относительно кото­рых не предполагается, что известно их истинностные значе­ния.

Связке " НЕ" соответствует логическая операция отрицания, обозначение операции – знак ù или .

Определение. Отрицанием высказывания A называется высказывание (ù A), которое истинно, если A – ложно, и ложно, если A – истинно.

Таблица истинности отрицания:

A
И	Л
Л	И

Пример: A: 2*2=4 – истинное высказывание; : или 2*2 4 - ложное высказывание.

Связке " И" соответствует операция конъюнкция, обозначение операции – знак (или &).

Определение. Конъюнкцией высказываний A и B называется высказывание A B (читается " A и B"), которое истинно тогда и только тогда, когда A, B – истинно.

Таблица истинности конъюнкции:

A	B	A B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Пример: A: 5 – нечетное число; B: Пушкин родился в 1799 г – истинные высказывания; поэтому высказываниеA B: 5 – нечетное число Пушкин родился в 1799 г. – истинное высказывание.

Связке " ИЛИ" соответствует операция дизъюнкция, обозначение операции – знак .

В формально-логических выводах «или» употребляется не в исключающем смысле (в отличие от обыденной речи, где эта связка может употребляться и в исключающем смысле и в неисключающем смысле)

Определение. Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказывание A B (читается " A или B"), которое ложно тогда и только тогда, когда A, B – ложны.

Таблица истинности дизъюнкции:

A	B	A B
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Пример. A: 7< 10, и.в. В: 3 - число четное, л.в. A B: 7< 10 3 - число четное, и.в.

Связке " ЕСЛИ....ТО" соответствует логическая операция импликация, обозначение операции знак →.

Определение. Импликацией высказываний A и B называется высказывание A→ B (читается " если A, то B"), которое ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.

Таблица истинности импликации:

A	B	A→ B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Пример. A: 2*2=5, л. в. В: 2=2, и. в. A→ B: 2*2=5→ 2=2. и. в.

Высказывание A называется условием или посылкой, высказывание В - заключением или следствием импликации.

Связке " ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА" соответствует операция эквиваленция, обозначение операция – знак «.

Определение. Эквиваленцией высказываний A и В навивается высказывание, обозначаемое A«B (читается: " A тогда и только тогда, когда В" или короче: " A эквивалентно В"), которое считается истинным только тогда, когда оба высказывания A и В имеют одинаковое истинностное значение.

Эквивалентность А«В читается также следующим образом: " Для того, чтобы A, необходимо и достаточно, чтобы В".

Таблица истинности эквиваленции:

A	B	A«B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Пример. A: 7 – число простое; и.в. В: в равнобедренном треугольнике при основании углы равны, и.в. A«В - и.в.

1) Стрелка Пирса - ↓.

Логическая операция задается таблицей:

р	q	р ↓ q

 

Стрелка Пирса является отрицанием дизъюнкции.

2) Штрих Шеффера - |.

Логическая операция задается таблицей:

р	q	р | q

Штрих Шеффера является отрицанием конъюнкции.

3) Сумма по модулю два -

Логическая операция задается таблицей:

р	q	р q

Сумма по модулю два является отрицанием эквивалентности