Точечные оценки

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин .

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где – результаты наблюдений над количественным признаком (выборка).

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя , (2)

где – варианта выборки; – частота варианты ; – объем выборки.

Замечание 1. Если первоначальные варианты – большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число , то есть перейти к условным вариантам (в качестве выгодно принять число, близкое к выборочной средней. Поскольку выборочная средняя неизвестна, число выбирают «на глаз»).

Тогда . (3)

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

; (4)

эта оценка является смещенной, так как . (5)

Более удобна формула . (6)

Замечание 2. Если первоначальные варианты – большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число , равное выборочной средней или близкое к ней, то есть перейти к условным вариантам (дисперсия при этом не изменится).

Тогда . (7)

Замечание 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число , то есть переходят к условным вариантам . При этом, дисперсия увеличивается в раз, поэтому, найдя дисперсию условных вариант,

надо разделить ее на :

. (8)

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия . (9)

Более удобная формула . (10)

В условных вариантах она имеет вид , (11)

причем если , то ; если , то .

Замечание 4. При большом числе данных используют метод произведений или метод сумм.

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : .

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

.

Пример. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема : .

Решение. Первоначальные варианты – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам . В итоге получим распределение условных вариант:

.

Найдем искомую выборочную среднюю:

.

Пример. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема : .

Решение. Варианты – сравнительно большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам (мы вычли из вариант число , близкое к выборочной средней). В итоге получим распределение условных вариант: .

Найдем искомую выборочную дисперсию:

.